ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 883

### 1. Решение тригонометрического уравнения Преобразуем правую часть уравнения: $$\sin \frac{25\pi}{6} = \sin\left(4\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$ Тогда: $$\sin^2 \frac{25\pi}{6} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$ Используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$ для выражений в левой части: $$\sin^4 x = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}$$ $$\sin^4\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{1 - \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right)}{2}\right)^2 = \left(\frac{1 + \sin 2x}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\sin 2x + \sin^2 2x}{4}$$ Сложим полученные выражения: $$\sin^4 x + \sin^4\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2 + 2(\sin 2x - \cos 2x) + (\sin^2 2x + \cos^2 2x)}{4}$$ Так как $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$, получаем: $$\frac{3 + 2(\sin 2x - \cos 2x)}{4} = \frac{1}{4}$$ $$3 + 2(\sin 2x - \cos 2x) = 1$$ $$2(\sin 2x - \cos 2x) = -2$$ $$\sin 2x - \cos 2x = -1$$ Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Отсюда получаем две серии решений: 1) $2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ 2) $2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ --- ### 2. Решение логарифмического неравенства $$\lg(x - \sqrt{2x + 23}) > 0$$ Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, неравенство равносильно: $$x - \sqrt{2x + 23} > 1$$ $$x - 1 > \sqrt{2x + 23}$$ Иррациональное неравенство вида $\sqrt{A} < B$ равносильно системе: $$\begin{cases} 2x + 23 \ge 0, \\ x - 1 > 0, \\ (x - 1)^2 > 2x + 23 \end{cases}$$ Решим каждое неравенство системы: 1) $2x \ge -23 \implies x \ge -11{,}5$ 2) $x > 1$ 3) $x^2 - 2x + 1 > 2x + 23 \implies x^2 - 4x - 22 > 0$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x - 22 = 0$: $$D_1 = (-2)^2 - 1 \cdot (-22) = 4 + 22 = 26$$ $$x = 2 \pm \sqrt{26}$$ Решением неравенства $x^2 - 4x - 22 > 0$ является множество: $$x \in (-\infty; 2 - \sqrt{26}) \cup (2 + \sqrt{26}; +\infty)$$ Так как $\sqrt{26} \approx 5{,}1$, то $2 - \sqrt{26} \approx -3{,}1$, что меньше $1$. С учетом условий $x > 1$ и $x \ge -11{,}5$, получаем решение системы: $$x > 2 + \sqrt{26}$$ --- ### 3. Отбор корней Оценим граничное значение: так как $5 < \sqrt{26} < 5{,}1$, то: $$7{,}09 < 2 + \sqrt{26} < 7{,}1$$ 1) Для корней вида $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$: - при $k = 2$: $x = 2\pi \approx 6{,}28 < 2 + \sqrt{26}$; - при $k = 3$: $x = 3\pi \approx 9{,}42 > 2 + \sqrt{26}$. Следовательно, подходят все $k \ge 3$, $k \in \mathbb{Z}$. 2) Для корней вида $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$: - при $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \approx 5{,}50 < 2 + \sqrt{26}$; - при $n = 3$: $x = -\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{11\pi}{4} \approx 8{,}64 > 2 + \sqrt{26}$. Следовательно, подходят все $n \ge 3$, $n \in \mathbb{Z}$. --- Ответ: $x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, \; k \ge 3$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}, \; n \ge 3$.