ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 882

Решим уравнение с учетом условий, накладываемых на переменную. Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется существованием тангенса: $$ \cos x \ne 0 \iff x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Преобразуем исходное уравнение: $$ \cos x - 1 + (1 + \cos x)\operatorname{tg}^2 x = 0 $$ Выразим $\operatorname{tg}^2 x$ через $\sin x$ и $\cos x$: $$ \operatorname{tg}^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\cos^2 x} $$ Подставим полученное выражение в уравнение: $$ (\cos x - 1) + (1 + \cos x) \cdot \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\cos^2 x} = 0 $$ $$ -(1 - \cos x) + \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)^2}{\cos^2 x} = 0 $$ Вынесем общий множитель $(1 - \cos x)$ за скобки: $$ (1 - \cos x) \left( \frac{(1 + \cos x)^2}{\cos^2 x} - 1 \right) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $1 - \cos x = 0 \implies \cos x = 1$ В этом случае $\sin x = 0$, а значит, $\operatorname{tg} x = 0$. Однако по условию требуется, чтобы $\operatorname{tg} x > 0$. Значит, корни этой серии не удовлетворяют условию задачи. 2) $\frac{(1 + \cos x)^2}{\cos^2 x} - 1 = 0$ Приведем выражение к общему знаменателю (при условии $\cos x \ne 0$): $$ (1 + \cos x)^2 - \cos^2 x = 0 $$ Раскроем скобки: $$ 1 + 2\cos x + \cos^2 x - \cos^2 x = 0 $$ $$ 1 + 2\cos x = 0 $$ $$ \cos x = -\frac{1}{2} $$ Решением уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ являются две серии углов: $$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Отберем корни, удовлетворяющие условию $\operatorname{tg} x > 0$: - Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ (точки лежат во II координатной четверти): $\sin x > 0$, $\cos x < 0 \implies \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} < 0$. Условие $\operatorname{tg} x > 0$ не выполняется. - Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ (точки лежат в III координатной четверти): $\sin x < 0$, $\cos x < 0 \implies \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} > 0$ (действительно, $\operatorname{tg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \sqrt{3} > 0$). Условие $\operatorname{tg} x > 0$ выполняется. Таким образом, условию удовлетворяет серия корней $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ (или $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$). Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.