ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 849

**849.** **1)** $x^{\lg x} = 10$ Область допустимых значений: $x > 0$. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: $$ \lg \left(x^{\lg x}\right) = \lg 10 $$ Используя свойство логарифма степени $\lg (a^p) = p \lg a$, получаем: $$ \lg x \cdot \lg x = 1 $$ $$ (\lg x)^2 = 1 $$ Отсюда: $$ \lg x = 1 \quad \text{или} \quad \lg x = -1 $$ 1. $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$; 2. $\lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0,1$. Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $0,1$; $10$. --- **2)** $x^{\log_3 x} = 9x$ Область допустимых значений: $x > 0$. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3: $$ \log_3 \left(x^{\log_3 x}\right) = \log_3 (9x) $$ Применим свойства логарифма степени и произведения: $$ \log_3 x \cdot \log_3 x = \log_3 9 + \log_3 x $$ Так как $\log_3 9 = 2$, получаем: $$ (\log_3 x)^2 - \log_3 x - 2 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - t - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 2, \quad t_2 = -1 $$ Вернемся к переменной $x$: 1. $\log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9$; 2. $\log_3 x = -1 \implies x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Оба корня положительны и удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{3}$; $9$. --- **3)** $x^{\lg x} - 1 = 10(1 - x^{-\lg x})$ Область допустимых значений: $x > 0$. Заметим, что $x^{-\lg x} = \frac{1}{x^{\lg x}}$. Перепишем уравнение: $$ x^{\lg x} - 1 = 10 \left(1 - \frac{1}{x^{\lg x}}\right) $$ Пусть $y = x^{\lg x}$, где $y > 0$. Уравнение принимает вид: $$ y - 1 = 10 \cdot \frac{y - 1}{y} $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ (y - 1) - \frac{10(y - 1)}{y} = 0 $$ Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки: $$ (y - 1)\left(1 - \frac{10}{y}\right) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1. $y - 1 = 0 \implies y = 1$; 2. $1 - \frac{10}{y} = 0 \implies \frac{10}{y} = 1 \implies y = 10$. Выполним обратную замену: 1. $x^{\lg x} = 1$ Прологарифмируем по основанию 10: $$ \lg x \cdot \lg x = \lg 1 $$ $$ (\lg x)^2 = 0 \implies \lg x = 0 \implies x = 10^0 = 1 $$ 2. $x^{\lg x} = 10$ Прологарифмируем по основанию 10: $$ \lg x \cdot \lg x = \lg 10 $$ $$ (\lg x)^2 = 1 $$ $$ \lg x = 1 \implies x = 10 $$ $$ \lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0,1 $$ Все найденные корни ($x_1 = 0,1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 10$) входят в ОДЗ. Ответ: $0,1$; $1$; $10$. --- **4)** $x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x^x}$ Область допустимых значений: основание показательно-степенной функции должно быть положительным, подкоренное выражение — неотрицательным, поэтому $x > 0$. Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степени $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$: $$ \sqrt{x^x} = \left(x^x\right)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{x}{2}} $$ Уравнение принимает вид: $$ x^{\sqrt{x}} = x^{\frac{x}{2}} $$ Рассмотрим возможные случаи равенства степеней с одинаковым переменным основанием при $x > 0$: 1. Основание степени равно 1: $x = 1$. Проверим корень подстановкой в исходное уравнение: $1^{\sqrt{1}} = \sqrt{1^1} \implies 1^1 = \sqrt{1} \implies 1 = 1$ — равенство верно, значит, $x = 1$ является корнем. 2. Основание степени отлично от 1 ($x \neq 1$). В этом случае должны быть равны показатели степеней: $$ \sqrt{x} = \frac{x}{2} $$ Умножим обе части на 2: $$ 2\sqrt{x} = x $$ Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем $\sqrt{x}$: $$ x - 2\sqrt{x} = 0 $$ $$ \sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) = 0 $$ Так как $x > 0$, то $\sqrt{x} \neq 0$. Получаем: $$ \sqrt{x} - 2 = 0 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4 $$ Значение $x = 4$ удовлетворяет условию $x > 0$ и $x \neq 1$. Ответ: $1$; $4$.