ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 848

**848.** **1)** $$ 5^{\log_3 x^2} - 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0 $$ Область допустимых значений (ОДЗ): Выражение под знаком логарифма должно быть положительным, откуда $x > 0$. При $x > 0$ по свойству логарифма степени получаем $\log_3 x^2 = 2\log_3 x$. Тогда первое слагаемое можно записать в виде: $$ 5^{\log_3 x^2} = 5^{2\log_3 x} = (5^{\log_3 x})^2 $$ Исходное уравнение принимает вид: $$ (5^{\log_3 x})^2 - 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0 $$ Пусть $t = 5^{\log_3 x}$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 6t + 5 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 5$. Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$. Вернемся к замене: 1) $5^{\log_3 x} = 1$ $$ 5^{\log_3 x} = 5^0 $$ $$ \log_3 x = 0 $$ $$ x = 3^0 $$ $$ x = 1 $$ 2) $5^{\log_3 x} = 5$ $$ 5^{\log_3 x} = 5^1 $$ $$ \log_3 x = 1 $$ $$ x = 3^1 $$ $$ x = 3 $$ Оба корня принадлежат ОДЗ ($1 > 0$, $3 > 0$). Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. --- **2)** $$ 25^{\log_3 x} - 4 \cdot 5^{\log_3 x+1} = 125 $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Преобразуем степени с основанием $5$: $$ 25^{\log_3 x} = (5^2)^{\log_3 x} = (5^{\log_3 x})^2 $$ $$ 5^{\log_3 x+1} = 5^{\log_3 x} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{\log_3 x} $$ Тогда уравнение можно переписать так: $$ (5^{\log_3 x})^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5^{\log_3 x} - 125 = 0 $$ $$ (5^{\log_3 x})^2 - 20 \cdot 5^{\log_3 x} - 125 = 0 $$ Пусть $t = 5^{\log_3 x}$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 20t - 125 = 0 $$ Найдем корни уравнения через дискриминант: $$ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 400 + 500 = 900 = 30^2 $$ $$ t_1 = \frac{20 + 30}{2} = 25 $$ $$ t_2 = \frac{20 - 30}{2} = -5 $$ Так как $t > 0$, значение $t_2 = -5$ не подходит. Вернемся к замене для $t_1 = 25$: $$ 5^{\log_3 x} = 25 $$ $$ 5^{\log_3 x} = 5^2 $$ $$ \log_3 x = 2 $$ $$ x = 3^2 $$ $$ x = 9 $$ Корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 > 0$). Ответ: $x = 9$.