ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 846

**846.** **1)** $$\lg \left(\frac{1}{2} + x\right) = \lg \frac{1}{2} - \lg x$$ Найдём область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} \frac{1}{2} + x > 0, \\ x > 0; \end{cases} \iff x > 0 $$ Используя свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg \frac{a}{b}$, преобразуем правую часть уравнения: $$ \lg \left(\frac{1}{2} + x\right) = \lg \left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right) $$ $$ \lg \left(\frac{1}{2} + x\right) = \lg \left(\frac{1}{2x}\right) $$ Так как основания логарифмов равны, приравняем их подлогарифмические выражения: $$ \frac{1}{2} + x = \frac{1}{2x} $$ Умножим обе части уравнения на $2x \neq 0$: $$ 2x \cdot \left(\frac{1}{2} + x\right) = 1 $$ $$ x + 2x^2 = 1 $$ $$ 2x^2 + x - 1 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2 $$ $$ x_1 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ $$ x_2 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 $$ С учётом ОДЗ ($x > 0$): * $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $x > 0$; * $x = -1$ не удовлетворяет условию $x > 0$ (посторонний корень). Ответ: $x = \frac{1}{2}$. --- **2)** $$2\lg x = -\lg \frac{1}{6 - x^2}$$ Найдём область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} x > 0, \\ \frac{1}{6 - x^2} > 0; \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0, \\ 6 - x^2 > 0; \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0, \\ x^2 < 6; \end{cases} \iff 0 < x < \sqrt{6} $$ Преобразуем левую и правую части уравнения с помощью свойств логарифма: * $2\lg x = \lg (x^2)$ * $-\lg \left(\frac{1}{6 - x^2}\right) = \lg \left(\left(\frac{1}{6 - x^2}\right)^{-1}\right) = \lg (6 - x^2)$ Получаем уравнение: $$ \lg (x^2) = \lg (6 - x^2) $$ Приравняем подлогарифмические выражения: $$ x^2 = 6 - x^2 $$ $$ 2x^2 = 6 $$ $$ x^2 = 3 $$ $$ x = \pm \sqrt{3} $$ С учётом ОДЗ ($0 < x < \sqrt{6}$): * $x = \sqrt{3}$ входит в интервал $(0; \sqrt{6})$; * $x = -\sqrt{3}$ не входит в интервал $(0; \sqrt{6})$ (посторонний корень). Ответ: $x = \sqrt{3}$.