ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 850

**1)** Решим уравнение: $$ 7 \cdot 4^{x^2} - 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0 $$ Заметим, что $4^{x^2} = (2^2)^{x^2} = (2^{x^2})^2$, $14^{x^2} = (2 \cdot 7)^{x^2} = 2^{x^2} \cdot 7^{x^2}$ и $49^{x^2} = (7^2)^{x^2} = (7^{x^2})^2$. Перепишем уравнение в виде: $$ 7 \cdot (2^{x^2})^2 - 9 \cdot 2^{x^2} \cdot 7^{x^2} + 2 \cdot (7^{x^2})^2 = 0 $$ Данное уравнение является однородным показательным уравнением второй степени. Так как $49^{x^2} = (7^{x^2})^2 > 0$ при любых действительных $x$, разделим обе части уравнения на $49^{x^2}$: $$ 7 \cdot \frac{4^{x^2}}{49^{x^2}} - 9 \cdot \frac{14^{x^2}}{49^{x^2}} + 2 = 0 $$ $$ 7 \cdot \left(\frac{4}{49}\right)^{x^2} - 9 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} + 2 = 0 $$ $$ 7 \cdot \left(\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}\right)^2 - 9 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} + 2 = 0 $$ Введём замену переменной: пусть $t = \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 7t^2 - 9t + 2 = 0 $$ Найдём корни с помощью дискриминанта: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25 = 5^2 $$ $$ t_1 = \frac{9 - 5}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} $$ $$ t_2 = \frac{9 + 5}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1 $$ Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$. Вернёмся к переменной $x$: 1. При $t = \frac{2}{7}$: $$ \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \left(\frac{2}{7}\right)^1 $$ $$ x^2 = 1 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1 $$ 2. При $t = 1$: $$ \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = 1 $$ $$ \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \left(\frac{2}{7}\right)^0 $$ $$ x^2 = 0 \implies x_3 = 0 $$ **Ответ:** $-1;\; 0;\; 1$. --- **2)** Решим уравнение: $$ 5^{x+4} + 3 \cdot 4^{x+3} = 4^{x+4} + 4 \cdot 5^{x+3} $$ Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями: степени с основанием $5$ перенесём в левую часть, а степени с основанием $4$ — в правую часть уравнения: $$ 5^{x+4} - 4 \cdot 5^{x+3} = 4^{x+4} - 3 \cdot 4^{x+3} $$ Вынесем за скобки степени с наименьшим показателем: $5^{x+3}$ в левой части и $4^{x+3}$ в правой: $$ 5^{x+3} \cdot (5^1 - 4) = 4^{x+3} \cdot (4^1 - 3) $$ $$ 5^{x+3} \cdot 1 = 4^{x+3} \cdot 1 $$ $$ 5^{x+3} = 4^{x+3} $$ Так как $4^{x+3} \neq 0$ при любых $x$, разделим обе части уравнения на $4^{x+3}$: $$ \frac{5^{x+3}}{4^{x+3}} = 1 $$ $$ \left(\frac{5}{4}\right)^{x+3} = 1 $$ Представим $1$ как степень с основанием $\frac{5}{4}$: $$ \left(\frac{5}{4}\right)^{x+3} = \left(\frac{5}{4}\right)^0 $$ Приравниваем показатели: $$ x + 3 = 0 $$ $$ x = -3 $$ **Ответ:** $-3$.