ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 844

**№ 844** 1) $(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 2 = 0$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Введем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$. Тогда уравнение принимает вид: $$ t^2 - 3t + 2 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 3 \\ t_1 \cdot t_2 = 2 \end{cases} \implies t_1 = 1,\; t_2 = 2 $$ Вернемся к переменной $x$: 1) $\log_2 x = 1$ $x = 2^1$ $x_1 = 2$ 2) $\log_2 x = 2$ $x = 2^2$ $x_2 = 4$ Оба найденных корня удовлетворяют условию $x > 0$. **Ответ:** $x_1 = 2$; $x_2 = 4$. --- 2) $(\log_3 x)^2 + 5 = 2\log_3 x^3$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0 \\ x^3 > 0 \end{cases} \iff x > 0 $$ По свойству логарифма степени при $x > 0$ имеем: $$ \log_3 x^3 = 3\log_3 x $$ Подставим это выражение в исходное уравнение: $$ (\log_3 x)^2 + 5 = 2 \cdot 3\log_3 x $$ $$ (\log_3 x)^2 + 5 = 6\log_3 x $$ Перенесем все члены уравнения в левую часть: $$ (\log_3 x)^2 - 6\log_3 x + 5 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 6t + 5 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 6 \\ t_1 \cdot t_2 = 5 \end{cases} \implies t_1 = 1,\; t_2 = 5 $$ Вернемся к переменной $x$: 1) $\log_3 x = 1$ $x = 3^1$ $x_1 = 3$ 2) $\log_3 x = 5$ $x = 3^5$ $x_2 = 243$ Оба корня удовлетворяют условию $x > 0$. **Ответ:** $x_1 = 3$; $x_2 = 243$.