ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 830

1) Решим в целых числах уравнение: $$ 2x^2y^2 - 14y^2 = 25 - x^2 $$ Перенесём слагаемое $-x^2$ в левую часть уравнения: $$ 2x^2y^2 - 14y^2 + x^2 = 25 $$ Разложим левую часть на множители методом группировки. Для этого вычтем из обеих частей уравнения число $7$: $$ (2x^2y^2 - 14y^2) + (x^2 - 7) = 25 - 7 $$ $$ 2y^2(x^2 - 7) + (x^2 - 7) = 18 $$ $$ (2y^2 + 1)(x^2 - 7) = 18 $$ Так как $x$ и $y$ — целые числа, то множители $(2y^2 + 1)$ и $(x^2 - 7)$ также являются целыми числами. Заметим, что $y^2 \ge 0$, следовательно, множитель $2y^2 + 1 \ge 1$ и является нечётным положительным делителем числа $18$. Положительными нечётными делителями числа $18$ являются числа $1$, $3$ и $9$. Рассмотрим эти случаи: 1. $2y^2 + 1 = 1$: $2y^2 = 0 \implies y = 0$. Тогда второй множитель: $x^2 - 7 = \frac{18}{1} = 18 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5$. Получаем пары решений: $(5; 0)$, $(-5; 0)$. 2. $2y^2 + 1 = 3$: $2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$. Тогда второй множитель: $x^2 - 7 = \frac{18}{3} = 6 \implies x^2 = 13$. Так как $13$ не является квадратом целого числа, в этом случае целых решений нет. 3. $2y^2 + 1 = 9$: $2y^2 = 8 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$. Тогда второй множитель: $x^2 - 7 = \frac{18}{9} = 2 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$. Получаем пары решений: $(3; 2)$, $(3; -2)$, $(-3; 2)$, $(-3; -2)$. Ответ к пункту 1: $(5; 0)$, $(-5; 0)$, $(3; 2)$, $(3; -2)$, $(-3; 2)$, $(-3; -2)$. --- 2) Решим в целых числах уравнение: $$ 3x^2 - 8xy - 16y^2 = 19 $$ Разложим квадратный трёхчлен в левой части уравнения на множители относительно переменной $x$. Для этого решим квадратное уравнение $3x^2 - 8yx - 16y^2 = 0$: $$ D_1 = (-4y)^2 - 3 \cdot (-16y^2) = 16y^2 + 48y^2 = 64y^2 = (8y)^2 $$ $$ x = \frac{4y \pm 8y}{3} $$ $$ x_1 = \frac{4y + 8y}{3} = 4y, \quad x_2 = \frac{4y - 8y}{3} = -\frac{4}{3}y $$ Следовательно: $$ 3x^2 - 8xy - 16y^2 = 3(x - 4y)\left(x + \frac{4}{3}y\right) = (x - 4y)(3x + 4y) $$ Исходное уравнение принимает вид: $$ (x - 4y)(3x + 4y) = 19 $$ Так как $x, y \in \mathbb{Z}$, множители $(x - 4y)$ и $(3x + 4y)$ — целые числа. Число $19$ — простое, поэтому его целыми делителями являются только $\pm 1$ и $\pm 19$. Рассмотрим возможные системы уравнений: 1. $$ \begin{cases} x - 4y = 1 \\ 3x + 4y = 19 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения: $$ 4x = 20 \implies x = 5 $$ Подставим значение $x = 5$ в первое уравнение: $$ 5 - 4y = 1 \implies 4y = 4 \implies y = 1 $$ Получили решение $(5; 1)$. 2. $$ \begin{cases} x - 4y = 19 \\ 3x + 4y = 1 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ 4x = 20 \implies x = 5 $$ Подставим $x = 5$ в первое уравнение: $$ 5 - 4y = 19 \implies 4y = -14 \implies y = -\frac{7}{2} \notin \mathbb{Z} $$ Целых решений нет. 3. $$ \begin{cases} x - 4y = -1 \\ 3x + 4y = -19 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ 4x = -20 \implies x = -5 $$ Подставим $x = -5$ в первое уравнение: $$ -5 - 4y = -1 \implies 4y = -4 \implies y = -1 $$ Получили решение $(-5; -1)$. 4. $$ \begin{cases} x - 4y = -19 \\ 3x + 4y = -1 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ 4x = -20 \implies x = -5 $$ Подставим $x = -5$ в первое уравнение: $$ -5 - 4y = -19 \implies 4y = 14 \implies y = \frac{7}{2} \notin \mathbb{Z} $$ Целых решений нет. Ответ к пункту 2: $(5; 1)$, $(-5; -1)$.