ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 829

Пусть искомое целое число равно $N$, а сумма квадратов его цифр равна $S$. Так как сумма квадратов цифр любого числа неотрицательна ($S \ge 0$), то число $N$ не может быть отрицательным. Следовательно, $N \ge 0$. Рассмотрим возможные случаи в зависимости от количества цифр числа $N$. ### 1. Однозначные числа ($0 \le N \le 9$) Для однозначного числа $N$, состоящего из одной цифры $d$, условие принимает вид: $$d = d^2$$ $$d^2 - d = 0$$ $$d(d - 1) = 0$$ Отсюда получаем два значения: $$d = 0 \quad \text{или} \quad d = 1$$ Проверим: * для числа $0$: $0^2 = 0$ — верно; * для числа $1$: $1^2 = 1$ — верно. ### 2. Двузначные числа ($10 \le N \le 99$) Пусть число имеет вид $N = 10a + b$, где $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$, $b \in \{0, 1, \dots, 9\}$. По условию: $$10a + b = a^2 + b^2$$ Преобразуем уравнение: $$a^2 - 10a + b^2 - b = 0$$ Выделим полный квадрат по переменной $a$: $$(a - 5)^2 - 25 + b(b - 1) = 0$$ $$(a - 5)^2 + b(b - 1) = 25$$ Так как $a$ — цифра, то $(a - 5)^2 \ge 0$. Следовательно, $b(b - 1) \le 25$. Переберем возможные значения цифры $b$: * если $b = 0$, то $b(b - 1) = 0 \implies (a - 5)^2 = 25 \implies a - 5 = \pm 5$, то есть $a = 0$ (не двузначное) или $a = 10$ (не цифра); * если $b = 1$, то $b(b - 1) = 0 \implies (a - 5)^2 = 25 \implies a = 0$ или $a = 10$ — решений нет; * если $b = 2$, то $b(b - 1) = 2 \implies (a - 5)^2 = 23$ — нет целых решений; * если $b = 3$, то $b(b - 1) = 6 \implies (a - 5)^2 = 19$ — нет целых решений; * если $b = 4$, то $b(b - 1) = 12 \implies (a - 5)^2 = 13$ — нет целых решений; * если $b = 5$, то $b(b - 1) = 20 \implies (a - 5)^2 = 5$ — нет целых решений; * если $b \ge 6$, то $b(b - 1) \ge 6 \cdot 5 = 30 > 25$, что невозможно, так как $(a - 5)^2 \ge 0$. Таким образом, среди двузначных чисел решений нет. ### 3. Трехзначные числа ($100 \le N \le 999$) Пусть $N = 100a + 10b + c$, где $a \in \{1, \dots, 9\}$, а $b, c \in \{0, \dots, 9\}$. Максимальная сумма квадратов цифр трехзначного числа равна: $$3 \cdot 9^2 = 3 \cdot 81 = 243$$ Значит, $N \le 243$, откуда следует, что первая цифра $a$ может быть равна только $1$ или $2$. * Если $a = 1$: $$100 + 10b + c = 1^2 + b^2 + c^2$$ $$99 = (b^2 - 10b) + (c^2 - c)$$ $$99 = (b - 5)^2 - 25 + c(c - 1)$$ $$(b - 5)^2 + c(c - 1) = 124$$ Так как $b, c \le 9$, оценим левую часть: $$(b - 5)^2 \le 5^2 = 25, \quad c(c - 1) \le 9 \cdot 8 = 72$$ $$(b - 5)^2 + c(c - 1) \le 25 + 72 = 97 < 124$$ Равенство невозможно, решений нет. * Если $a = 2$: $$200 + 10b + c = 2^2 + b^2 + c^2$$ $$196 = (b - 5)^2 - 25 + c(c - 1)$$ $$(b - 5)^2 + c(c - 1) = 221$$ Так как максимальное значение левой части равно $97$, а $97 < 221$, решений также нет. ### 4. Числа с количеством цифр $k \ge 4$ Для любого $k$-значного числа $N$ верно неравенство: $$N \ge 10^{k-1}$$ Сумма квадратов его цифр не превосходит: $$S \le 81k$$ Докажем методом математической индукции, что при всех $k \ge 4$ выполняется строfilterное неравенство $10^{k-1} > 81k$: 1. База индукции при $k = 4$: $$10^{4-1} = 1000, \quad 81 \cdot 4 = 324 \implies 1000 > 324 \quad \text{— верно.}$$ 2. Шаг индукции: пусть неравенство верно для некоторого $k \ge 4$, то есть $10^{k-1} > 81k$. Тогда для $k+1$: $$10^k = 10 \cdot 10^{k-1} > 10 \cdot 81k = 81(k + 9k) > 81(k + 1)$$ Неравенство доказано. Так как при $k \ge 4$ число $N \ge 10^{k-1} > 81k \ge S$, число всегда строго больше суммы квадратов своих цифр, и равенство $N = S$ невозможно. Ответ: 0; 1.