ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 828

**1)** $z^2 - 25i = 0$ Запишем уравнение в виде: $$ z^2 = 25i $$ Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда: $$ (x + iy)^2 = 25i $$ $$ x^2 - y^2 + 2xyi = 0 + 25i $$ Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ 2xy = 25 \end{cases} $$ Из первого уравнения $x^2 = y^2$, то есть $y = x$ или $y = -x$. Так как из второго уравнения $2xy = 25 > 0$, числа $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки, поэтому $y = x$. Подставим $y = x$ во второе уравнение: $$ 2x^2 = 25 \implies x^2 = \frac{25}{2} \implies x = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2} $$ Так как $y = x$, получаем два значения: $$ z_1 = \frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2}i, \quad z_2 = -\frac{5\sqrt{2}}{2} - \frac{5\sqrt{2}}{2}i $$ Ответ: $z_{1,2} = \pm \left(\frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2}i\right)$. --- **2)** $z^2 = -8 + 6i$ Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда: $$ (x + iy)^2 = -8 + 6i $$ $$ x^2 - y^2 + 2xyi = -8 + 6i $$ Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = -8 \\ 2xy = 6 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $$ xy = 3 \implies y = \frac{3}{x} $$ Подставим найденное выражение в первое уравнение: $$ x^2 - \left(\frac{3}{x}\right)^2 = -8 $$ $$ x^2 - \frac{9}{x^2} = -8 $$ Умножим обе части уравнения на $x^2 \neq 0$: $$ x^4 + 8x^2 - 9 = 0 $$ Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 + 8t - 9 = 0 $$ По теореме Виета корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -9$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t = 1$. $$ x^2 = 1 \implies x = \pm 1 $$ Найдем соответствующие значения $y$: * при $x = 1$: $y = \frac{3}{1} = 3 \implies z_1 = 1 + 3i$; * при $x = -1$: $y = \frac{3}{-1} = -3 \implies z_2 = -1 - 3i$. Ответ: $z_{1,2} = \pm (1 + 3i)$. --- **3)** $z^3 + 8 = 0$ Разложим левую часть уравнения на множители по формуле суммы кубов: $$ z^3 + 2^3 = (z + 2)(z^2 - 2z + 4) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $z + 2 = 0 \implies z_1 = -2$. 2) $z^2 - 2z + 4 = 0$. Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 = 12i^2 $$ $$ z = \frac{2 \pm \sqrt{12i^2}}{2} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3} $$ Таким образом, $z_2 = 1 + i\sqrt{3}$, $z_3 = 1 - i\sqrt{3}$. Ответ: $z_1 = -2$, $z_{2,3} = 1 \pm i\sqrt{3}$. --- **4)** $z^4 - 1 = 0$ Разложим левую часть на множители как разность квадратов: $$ (z^2 - 1)(z^2 + 1) = 0 $$ $$ (z - 1)(z + 1)(z^2 + 1) = 0 $$ Приравниваем каждый множитель к нулю: 1) $z - 1 = 0 \implies z_1 = 1$; 2) $z + 1 = 0 \implies z_2 = -1$; 3) $z^2 + 1 = 0 \implies z^2 = -1 \implies z_{3,4} = \pm i$. Ответ: $z_{1,2} = \pm 1$, $z_{3,4} = \pm i$.