ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 803

**803.** **1)** Решим уравнение: $$ \frac{3x}{2x-1} + \frac{x+1}{x+2} = \frac{3}{2-3x-2x^2} $$ Разложим на множители знаменатель в правой части. Для этого решим квадратное уравнение $-2x^2 - 3x + 2 = 0$: $$ 2x^2 + 3x - 2 = 0 $$ $$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $$ $$ x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2 $$ Тогда: $$ 2 - 3x - 2x^2 = -2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 2) = -(2x - 1)(x + 2) $$ Перепишем исходное уравнение, перенеся дробь из правой части в левую: $$ \frac{3x}{2x-1} + \frac{x+1}{x+2} + \frac{3}{(2x-1)(x+2)} = 0 $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 2x - 1 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 0{,}5 \\ x \neq -2 \end{cases} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $(2x-1)(x+2)$: $$ \frac{3x(x+2) + (x+1)(2x-1) + 3}{(2x-1)(x+2)} = 0 $$ Приравняем числитель к нулю при условии выполнения ОДЗ: $$ 3x(x+2) + (x+1)(2x-1) + 3 = 0 $$ Раскроем скобки: $$ 3x^2 + 6x + 2x^2 - x + 2x - 1 + 3 = 0 $$ $$ 5x^2 + 7x + 2 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: $$ D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 $$ $$ x_1 = \frac{-7 + 3}{10} = \frac{-4}{10} = -0{,}4 $$ $$ x_2 = \frac{-7 - 3}{10} = \frac{-10}{10} = -1 $$ Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0{,}5$, $x \neq -2$). Ответ: $-1$; $-0{,}4$. --- **2)** Решим уравнение: $$ \frac{4x^2}{x+2} - \frac{10}{x+2} + 4 = 0 $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2 $$ Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x+2$: $$ \frac{4x^2 - 10 + 4(x+2)}{x+2} = 0 $$ Приравняем числитель к нулю: $$ 4x^2 - 10 + 4x + 8 = 0 $$ $$ 4x^2 + 4x - 2 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на 2: $$ 2x^2 + 2x - 1 = 0 $$ Найдем корни уравнения через дискриминант: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12 $$ $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} $$ $$ x_1 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} $$ Проверим ОДЗ: Так как $\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} \neq -2$ (поскольку $-1 \pm \sqrt{3} \neq -4 \iff \pm\sqrt{3} \neq -3$), оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.