ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 80

**1)** Решим уравнение $\operatorname{ctg} x = 1$. Общее решение уравнения: $$ x = \operatorname{arcctg} 1 + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найдем значения $k$, при которых корни принадлежат промежутку $(-\pi; 2\pi)$: $$ -\pi < \frac{\pi}{4} + \pi k < 2\pi $$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$ -1 < \frac{1}{4} + k < 2 $$ Вычтем $\frac{1}{4}$: $$ -\frac{5}{4} < k < \frac{7}{4} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, получаем возможные значения: $k = -1, 0, 1$. Вычислим корни для найденных значений $k$: - при $k = -1$: $x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$; - при $k = 0$: $x = \frac{\pi}{4}$; - при $k = 1$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Ответ: $-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}$. --- **2)** Решим уравнение $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$. Общее решение уравнения: $$ x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найдем значения $k$, при которых корни принадлежат промежутку $(-\pi; 2\pi)$: $$ -\pi < \frac{\pi}{3} + \pi k < 2\pi $$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$ -1 < \frac{1}{3} + k < 2 $$ Вычтем $\frac{1}{3}$: $$ -\frac{4}{3} < k < \frac{5}{3} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, получаем: $k = -1, 0, 1$. Вычислим корни: - при $k = -1$: $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$; - при $k = 0$: $x = \frac{\pi}{3}$; - при $k = 1$: $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$. Ответ: $-\frac{2\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}$. --- **3)** Решим уравнение $\operatorname{ctg} x = -\sqrt{3}$. Общее решение уравнения: $$ x = \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) + \pi k = \pi - \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{5\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найдем значения $k$, при которых корни принадлежат промежутку $(-\pi; 2\pi)$: $$ -\pi < \frac{5\pi}{6} + \pi k < 2\pi $$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$ -1 < \frac{5}{6} + k < 2 $$ Вычтем $\frac{5}{6}$: $$ -\frac{11}{6} < k < \frac{7}{6} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, целыми решениями являются: $k = -1, 0, 1$. Вычислим корни: - при $k = -1$: $x = \frac{5\pi}{6} - \pi = -\frac{\pi}{6}$; - при $k = 0$: $x = \frac{5\pi}{6}$; - при $k = 1$: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi = \frac{11\pi}{6}$. Ответ: $-\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$. --- **4)** Решим уравнение $\operatorname{tg} x = -1$. Общее решение уравнения: $$ x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найдем значения $k$, при которых корни принадлежат промежутку $(-\pi; 2\pi)$: $$ -\pi < -\frac{\pi}{4} + \pi k < 2\pi $$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$ -1 < -\frac{1}{4} + k < 2 $$ Прибавим $\frac{1}{4}$: $$ -\frac{3}{4} < k < \frac{9}{4} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, целыми решениями являются: $k = 0, 1, 2$. Вычислим корни: - при $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{4}$; - при $k = 1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$; - при $k = 2$: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Ответ: $-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$.