ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 83

**1)** Решим неравенство $\operatorname{ctg} x < 1$. Функция $y = \operatorname{ctg} x$ периодическая с главным периодом $T = \pi$. Рассмотрим промежуток длиной $\pi$, на котором функция непрерывна и монотонно убывает: $(0; \pi)$. Найдём значение $x \in (0; \pi)$, при котором $\operatorname{ctg} x = 1$: $$ x = \frac{\pi}{4} $$ Так как функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает на интервале $(0; \pi)$, то значения $\operatorname{ctg} x < 1$ принимаются при: $$ \frac{\pi}{4} < x < \pi $$ Учитывая наименьший положительный период котангенса $\pi$, получаем общее решение: $$ \frac{\pi}{4} + \pi k < x < \pi + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{4} + \pi k; \pi + \pi k\right), k \in \mathbb{Z}$. --- **2)** Решим неравенство $\operatorname{tg} x \geqslant \sqrt{3}$. Функция $y = \operatorname{tg} x$ периодическая с главным периодом $T = \pi$. Рассмотрим промежуток $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, на котором функция определена и монотонно возрастает. Найдём значение $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, при котором $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$: $$ x = \frac{\pi}{3} $$ Так как функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, то значения $\operatorname{tg} x \geqslant \sqrt{3}$ достигаются при: $$ \frac{\pi}{3} \leqslant x < \frac{\pi}{2} $$ Учитывая период $\pi$, запишем общее решение: $$ \frac{\pi}{3} + \pi k \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), k \in \mathbb{Z}$. --- **3)** Решим неравенство $\operatorname{tg} x \leqslant -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Рассмотрим промежуток $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, на котором тангенс непрерывен и монотонно возрастает. Найдём значение $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, при котором $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$: $$ x = -\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6} $$ В силу возрастания функции $y = \operatorname{tg} x$ на рассматриваемом промежутке, неравенство $\operatorname{tg} x \leqslant -\frac{\sqrt{3}}{3}$ выполняется при: $$ -\frac{\pi}{2} < x \leqslant -\frac{\pi}{6} $$ Добавляя период функции $\pi$, получаем: $$ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x \leqslant -\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{6} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$. --- **4)** Решим неравенство $\operatorname{tg} x > -1$. Рассмотрим промежуток $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, на котором функция $y = \operatorname{tg} x$ монотонно возрастает. Найдём значение $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, при котором $\operatorname{tg} x = -1$: $$ x = -\operatorname{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4} $$ Так как тангенс строго возрастает на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, неравенство $\operatorname{tg} x > -1$ выполняется при: $$ -\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2} $$ С учётом периодичности функции тангенс ($T = \pi$): $$ -\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.