ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 82

### 1) Функция $f(x) = \begin{cases} \operatorname{tg} x, \text{ если } \pi \leqslant x < \frac{3\pi}{2}, \\ \sin x, \text{ если } -\pi \leqslant x < \pi \end{cases}$ #### Построение графика: График функции состоит из двух частей: 1. **На промежутке $[-\pi; \pi)$** строим график функции $y = \sin x$: * В точке $x = -\pi$: $y = \sin(-\pi) = 0$ (точка включена). * В точке $x = -\frac{\pi}{2}$: $y = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$ (минимум функции). * В точке $x = 0$: $y = \sin 0 = 0$. * В точке $x = \frac{\pi}{2}$: $y = \sin\frac{\pi}{2} = 1$ (максимум функции). * При $x \to \pi$ значения стремятся к $\sin \pi = 0$. 2. **На промежутке $\left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$** строим график функции $y = \operatorname{tg} x$: * В точке $x = \pi$: $y = \operatorname{tg} \pi = 0$. Так как значение синуса при приближении к $\pi$ слева стремилось к $0$, график непрерывно продолжается из точки $(\pi; 0)$. * В точке $x = \frac{5\pi}{4}$: $y = \operatorname{tg}\frac{5\pi}{4} = 1$. * Прямая $x = \frac{3\pi}{2}$ является вертикальной асимптотой: при $x \to \frac{3\pi}{2}^-$ график уходит вверх в $+\infty$. #### Исследование по графику: **а) Область определения:** Объединяем заданные промежутки аргумента: $$ D(f) = [-\pi; \pi) \cup \left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right) = \left[-\pi; \frac{3\pi}{2}\right) $$ **б) Множество значений:** * На промежутке $[-\pi; \pi)$ функция $y = \sin x$ принимает значения от $-1$ до $1$, то есть $[-1; 1]$. * На промежутке $\left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$ функция $y = \operatorname{tg} x$ принимает значения от $0$ до $+\infty$, то есть $[0; +\infty)$. Объединяя множества значений, получаем: $$ E(f) = [-1; 1] \cup [0; +\infty) = [-1; +\infty) $$ **в) Промежутки возрастания:** * На первой части график синусоиды идет вверх от точки с абсциссой $x = -\frac{\pi}{2}$ до точки с абсциссой $x = \frac{\pi}{2}$. * На второй части график тангенса монотонно идет вверх от точки $x = \pi$ до асимптоты $x = \frac{3\pi}{2}$. Функция возрастает на промежутках: $$ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] \quad \text{и} \quad \left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right) $$ --- ### 2) Функция $f(x) = \begin{cases} \operatorname{ctg} x, \text{ если } -\pi < x < -\frac{\pi}{2}, \quad \frac{3\pi}{2} \leqslant x < 2\pi, \\ \cos x, \text{ если } -\frac{\pi}{2} \leqslant x < \frac{3\pi}{2} \end{cases}$ #### Построение графика: График функции состоит из трех состыкованных частей: 1. **На интервале $\left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right)$** строим график функции $y = \operatorname{ctg} x$: * Прямая $x = -\pi$ является вертикальной асимптотой: при $x \to -\pi^+$ ветвь котангенса уходит в $+\infty$. * В точке $x = -\frac{3\pi}{4}$: $y = \operatorname{ctg}\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = 1$. * При $x \to -\frac{\pi}{2}^-$ значение котангенса стремится к $0$. 2. **На полуинтервале $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$** строим график функции $y = \cos x$: * В точке $x = -\frac{\pi}{2}$: $y = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$ (непрерывный стык с первой ветвью). * В точке $x = 0$: $y = \cos 0 = 1$ (максимум функции). * В точке $x = \frac{\pi}{2}$: $y = \cos\frac{\pi}{2} = 0$. * В точке $x = \pi$: $y = \cos\pi = -1$ (минимум функции). * При $x \to \frac{3\pi}{2}^-$ значения стремятся к $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$. 3. **На полуинтервале $\left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$** строим график функции $y = \operatorname{ctg} x$: * В точке $x = \frac{3\pi}{2}$: $y = \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{2} = 0$ (непрерывный стык со второй ветвью). * В точке $x = \frac{7\pi}{4}$: $y = \operatorname{ctg}\frac{7\pi}{4} = -1$. * Прямая $x = 2\pi$ является вертикальной асимптотой: при $x \to 2\pi^-$ ветвь котангенса уходит в $-\infty$. #### Исследование по графику: **а) Область определения:** Объединяем заданные промежутки: $$ D(f) = \left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right) \cup \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right) \cup \left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) = (-\pi; 2\pi) $$ **б) Множество значений:** * На интервале $\left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right)$ значения котангенса составляют $(0; +\infty)$. * На полуинтервале $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$ косинус принимает значения $[-1; 1]$. * На полуинтервале $\left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$ значения котангенса составляют $(-\infty; 0]$. Объединяя все значения, получаем всю числовую прямую: $$ E(f) = (-\infty; +\infty) $$ **в) Промежутки возрастания:** * На интервале $\left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right)$ котангенс убывает. * На отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$ график косинуса идет вверх от значения $0$ до $1$. * На отрезке $[0; \pi]$ косинус убывает от $1$ до $-1$. * На промежутке $\left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$ график непрерывно поднимается от точки $(\pi; -1)$ до точки $\left(\frac{3\pi}{2}; 0\right)$. * На полуинтервале $\left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$ котангенс убывает. Функция возрастает на промежутках: $$ \left[-\frac{\pi}{2}; 0\right] \quad \text{и} \quad \left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right] $$