ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 785

**1)** Докажем тождество: $$ 1 + \sin \alpha = 2 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) $$ Преобразуем правую часть равенства, применив формулу понижения степени $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$: $$ 2 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = 1 + \cos\left(2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $$ По формуле приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha$, следовательно: $$ 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 1 + \sin \alpha $$ Получили выражение, совпадающее с левой частью исходного равенства: $$ 1 + \sin \alpha = 1 + \sin \alpha $$ Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ 1 - \sin \alpha = 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) $$ Преобразуем правую часть равенства, применив формулу понижения степени $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$: $$ 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = 1 - \cos\left(2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $$ По формуле приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha$, следовательно: $$ 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 1 - \sin \alpha $$ Получили выражение, совпадающее с левой частью исходного равенства: $$ 1 - \sin \alpha = 1 - \sin \alpha $$ Тождество доказано.