ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 676

**1)** Дана система линейных уравнений относительно комплексных переменных $z_1$ и $z_2$: $$ \begin{cases} z_1 + 2z_2 = 1 + i, \\ 3z_1 + iz_2 = 2 - 3i. \end{cases} $$ Выразим переменную $z_1$ из первого уравнения системы: $$ z_1 = 1 + i - 2z_2 $$ Подставим полученное выражение для $z_1$ во второе уравнение: $$ 3(1 + i - 2z_2) + iz_2 = 2 - 3i $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 3 + 3i - 6z_2 + iz_2 = 2 - 3i $$ $$ (i - 6)z_2 = 2 - 3i - 3 - 3i $$ $$ (-6 + i)z_2 = -1 - 6i $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ (6 - i)z_2 = 1 + 6i $$ Выразим $z_2$: $$ z_2 = \frac{1 + 6i}{6 - i} $$ Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное знаменателю число $(6 + i)$, учитывая, что $i^2 = -1$: $$ z_2 = \frac{(1 + 6i)(6 + i)}{(6 - i)(6 + i)} = \frac{6 + i + 36i + 6i^2}{6^2 - i^2} = \frac{6 + 37i - 6}{36 - (-1)} = \frac{37i}{37} = i $$ Теперь найдем значение $z_1$, подставив $z_2 = i$: $$ z_1 = 1 + i - 2i = 1 - i $$ Ответ к пункту 1: $z_1 = 1 - i$, $z_2 = i$. --- **2)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} z^2 + |z| = 0, \\ \overline{z} = -4z. \end{cases} $$ Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда сопряженное число $\overline{z} = x - iy$. Рассмотрим второе уравнение системы: $$ x - iy = -4(x + iy) $$ $$ x - iy = -4x - 4iy $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ (x + 4x) + (-y + 4y)i = 0 $$ $$ 5x + 3yi = 0 $$ Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части одновременно равны нулю: $$ \begin{cases} 5x = 0, \\ 3y = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0, \\ y = 0. \end{cases} $$ Следовательно, единственным решением второго уравнения является: $$ z = 0 $$ Подставим $z = 0$ в первое уравнение системы для проверки: $$ 0^2 + |0| = 0 + 0 = 0 $$ Равенство верно, значит, $z = 0$ является решением системы. Ответ к пункту 2: $z = 0$.