ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 673

Если квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексный корень $z = a + bi$ ($b \ne 0$), то вторым его корнем обязательно является сопряжённое число $\bar{z} = a - bi$. Приведённое квадратное уравнение имеет вид: $$ x^2 + px + q = 0 $$ По теореме Виета его коэффициенты определяются через корни: $$ p = -(x_1 + x_2), \quad q = x_1 \cdot x_2 $$ **1)** Дан корень $x_1 = \sqrt{3} - \sqrt{5}i$. Так как коэффициенты уравнения действительные, второй корень является комплексно сопряжённым к первому: $$ x_2 = \sqrt{3} + \sqrt{5}i $$ Найдём сумму корней: $$ x_1 + x_2 = (\sqrt{3} - \sqrt{5}i) + (\sqrt{3} + \sqrt{5}i) = 2\sqrt{3} $$ Отсюда второй коэффициент уравнения: $$ p = -(x_1 + x_2) = -2\sqrt{3} $$ Найдём произведение корней (используя формулу разности квадратов и то, что $i^2 = -1$): $$ q = x_1 \cdot x_2 = (\sqrt{3} - \sqrt{5}i)(\sqrt{3} + \sqrt{5}i) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5}i)^2 = 3 - 5i^2 = 3 + 5 = 8 $$ Составим приведённое квадратное уравнение: $$ x^2 - 2\sqrt{3}x + 8 = 0 $$ **2)** Дан корень $x_1 = \frac{3 - 2i}{2 + 3i}$. Упростим выражение для $x_1$, умножив числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое знаменателю, то есть на $2 - 3i$: $$ x_1 = \frac{(3 - 2i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{6 - 9i - 4i + 6i^2}{2^2 - (3i)^2} = \frac{6 - 13i - 6}{4 - 9(-1)} = \frac{-13i}{13} = -i $$ Так как коэффициенты уравнения действительные, вторым корнем является комплексно сопряжённое число: $$ x_2 = \overline{-i} = i $$ Найдём сумму корней: $$ x_1 + x_2 = -i + i = 0 \implies p = -(x_1 + x_2) = 0 $$ Найдём произведение корней: $$ q = x_1 \cdot x_2 = (-i) \cdot i = -i^2 = -(-1) = 1 $$ Составим приведённое квадратное уравнение: $$ x^2 + 1 = 0 $$ **Ответ:** 1) $x^2 - 2\sqrt{3}x + 8 = 0$; 2) $x^2 + 1 = 0$.