ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 677

Для нахождения всех значений корня $n$-й степени из комплексного числа используется формула Муавра: $$ w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right), \quad k = 0, 1, \dots, n-1 $$ где $r = |z|$ — модуль комплексного числа, $\varphi = \arg z$ — его аргумент. --- ### 1) $\sqrt[4]{4}$ Запишем число $z = 4$ в тригонометрической форме: - Модуль числа: $r = |4| = 4$. - Аргумент: $\varphi = 0$. $$ 4 = 4(\cos 0 + i\sin 0) $$ Применим формулу корней для $n = 4$: $$ w_k = \sqrt[4]{4}\left(\cos\frac{0 + 2\pi k}{4} + i\sin\frac{0 + 2\pi k}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi k}{2}\right), \quad k = 0, 1, 2, 3 $$ Вычислим значения для каждого $k$: - При $k = 0$: $$ w_0 = \sqrt{2}(\cos 0 + i\sin 0) = \sqrt{2}(1 + 0) = \sqrt{2} $$ - При $k = 1$: $$ w_1 = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}(0 + i) = i\sqrt{2} $$ - При $k = 2$: $$ w_2 = \sqrt{2}(\cos \pi + i\sin \pi) = \sqrt{2}(-1 + 0) = -\sqrt{2} $$ - При $k = 3$: $$ w_3 = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right) = \sqrt{2}(0 - i) = -i\sqrt{2} $$ **Ответ:** $\pm\sqrt{2}; \pm i\sqrt{2}$. --- ### 2) $\sqrt[3]{i}$ Запишем число $z = i$ в тригонометрической форме: - Модуль числа: $r = |i| = 1$. - Аргумент: $\varphi = \frac{\pi}{2}$. $$ i = 1\cdot\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) $$ Применим формулу корней для $n = 3$: $$ w_k = \sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2 $$ Вычислим значения для каждого $k$: - При $k = 0$: $$ w_0 = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i $$ - При $k = 1$: $$ w_1 = \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i $$ - При $k = 2$: $$ w_2 = \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3}\right) = \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = -i $$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i; -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i; -i$. --- ### 3) $\sqrt[6]{1}$ Запишем число $z = 1$ в тригонометрической форме: - Модуль числа: $r = |1| = 1$. - Аргумент: $\varphi = 0$. $$ 1 = 1\cdot(\cos 0 + i\sin 0) $$ Применим формулу корней для $n = 6$: $$ w_k = \sqrt[6]{1}\left(\cos\frac{0 + 2\pi k}{6} + i\sin\frac{0 + 2\pi k}{6}\right) = \cos\frac{\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi k}{3}, \quad k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 $$ Вычислим значения для каждого $k$: - При $k = 0$: $$ w_0 = \cos 0 + i\sin 0 = 1 $$ - При $k = 1$: $$ w_1 = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $$ - При $k = 2$: $$ w_2 = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $$ - При $k = 3$: $$ w_3 = \cos\pi + i\sin\pi = -1 $$ - При $k = 4$: $$ w_4 = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i $$ - При $k = 5$: $$ w_5 = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i $$ **Ответ:** $\pm 1; \pm\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$. --- ### 4) $\sqrt[4]{-2 + 2i\sqrt{3}}$ Запишем число $z = -2 + 2\sqrt{3}i$ в тригонометрической форме: - Модуль числа: $$ r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 $$ - Аргумент $\varphi$: $$ \cos\varphi = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \quad \sin\varphi = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \varphi = \frac{2\pi}{3} $$ $$ -2 + 2i\sqrt{3} = 4\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) $$ Применим формулу корней для $n = 4$: $$ w_k = \sqrt[4]{4}\left(\cos\frac{\frac{2\pi}{3} + 2\pi k}{4} + i\sin\frac{\frac{2\pi}{3} + 2\pi k}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}\right)\right), \quad k = 0, 1, 2, 3 $$ Вычислим значения для каждого $k$: - При $k = 0$: $$ w_0 = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i $$ - При $k = 1$: $$ w_1 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = \sqrt{2}\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}i $$ - При $k = 2$: $$ w_2 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{6} + \pi\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \pi\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}\right) = \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right) = -\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i $$ - При $k = 3$: $$ w_3 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2}i $$ **Ответ:** $\pm\left(\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right); \pm\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}i\right)$.