ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 675

1) Дано комплексное число: $$ z = \left( \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right) \right)^{-3} $$ Используем формулу Муавра: $(r(\cos \varphi + i \sin \varphi))^n = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$. Модуль числа: $$ r = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 $$ Аргумент числа: $$ \varphi = -3 \cdot \frac{\pi}{12} = -\frac{\pi}{4} $$ Запишем число в тригонометрической форме: $$ z = 8 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \quad \left(\text{или } z = 8 \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right)\right) $$ Для перехода к алгебраической форме подставим табличные значения $\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$ z = 8 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}i $$ Ответ: тригонометрическая форма: $8 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right)$; алгебраическая форма: $4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}i$. --- 2) Дано комплексное число: $$ z = \left( \sqrt{3} - i \right)^6 $$ Представим сначала основание $w = \sqrt{3} - i$ в тригонометрической форме: - Модуль: $r = |w| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$. - Аргумент: $\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{1}{2}$. Точка лежит в IV четверти, значит, $\varphi = -\frac{\pi}{6}$. Получаем: $$ w = 2 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right) $$ Возводим в 6-ю степень по формуле Муавра: $$ z = w^6 = 2^6 \left( \cos\left(6 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) + i \sin\left(6 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) \right) = 64 \left( \cos(-\pi) + i \sin(-\pi) \right) $$ С учётом периодичности и чётности тригонометрических функций: $\cos(-\pi) = \cos \pi$, $\sin(-\pi) = -\sin \pi = \sin \pi$. Тригонометрическая форма: $$ z = 64 (\cos \pi + i \sin \pi) $$ Вычислим значения тригонометрических функций ($\cos \pi = -1$, $\sin \pi = 0$) для записи в алгебраической форме: $$ z = 64 (-1 + 0i) = -64 $$ Ответ: тригонометрическая форма: $64 (\cos \pi + i \sin \pi)$; алгебраическая форма: $-64$. --- 3) Дано комплексное число: $$ z = \frac{1}{\left( \cos 12^\circ + i \sin 12^\circ \right)^5} $$ По формуле Муавра возведём знаменатель в 5-ю степень: $$ \left( \cos 12^\circ + i \sin 12^\circ \right)^5 = \cos(5 \cdot 12^\circ) + i \sin(5 \cdot 12^\circ) = \cos 60^\circ + i \sin 60^\circ $$ Перепишем дробь в виде степени с отрицательным показателем и применим формулу Муавра: $$ z = \left( \cos 60^\circ + i \sin 60^\circ \right)^{-1} = \cos(-60^\circ) + i \sin(-60^\circ) $$ Тригонометрическая форма: $$ z = \cos(-60^\circ) + i \sin(-60^\circ) \quad \left(\text{или } z = \cos 300^\circ + i \sin 300^\circ\right) $$ Найдём алгебраическую форму, подставив значения $\cos(-60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ и $\sin(-60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$ z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i $$ Ответ: тригонометрическая форма: $\cos(-60^\circ) + i \sin(-60^\circ)$; алгебраическая форма: $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$. --- 4) Дано комплексное число: $$ z = \frac{\left( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right) \left( 1 + \sqrt{3} i \right)^7}{i} $$ Переведём все множители в тригонометрическую форму: 1. Число $w = 1 + \sqrt{3}i$: - Модуль: $|w| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$. - Аргумент: $\cos \varphi = \frac{1}{2}$, $\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \varphi = \frac{\pi}{3}$. - Тригонометрическая форма: $w = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$. Возводим $w$ в 7-ю степень: $$ w^7 = 2^7 \left( \cos \frac{7\pi}{3} + i \sin \frac{7\pi}{3} \right) = 128 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) $$ 2. Умножаем первый множитель числителя на $w^7$ (при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются): $$ \left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right) \cdot 128 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 128 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) \right) = 128 (\cos 0 + i \sin 0) $$ 3. Знаменатель $i$ в тригонометрической форме: $$ i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} $$ 4. Разделим числитель на знаменатель (при делении модули делятся, а аргументы вычитаются): $$ z = \frac{128 (\cos 0 + i \sin 0)}{\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}} = 128 \left( \cos\left(0 - \frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(0 - \frac{\pi}{2}\right) \right) = 128 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) $$ Тригонометрическая форма: $$ z = 128 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) \quad \left(\text{или } z = 128 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right)\right) $$ Найдём алгебраическую форму ($\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$, $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$): $$ z = 128 (0 - i) = -128i $$ Ответ: тригонометрическая форма: $128 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right)$; алгебраическая форма: $-128i$.