ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 651

1) Упростим число $z_1$, записав его в алгебраической форме: $$ z_1 = \frac{-3 - 2i}{2 - i} = \frac{(-3 - 2i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{-6 - 3i - 4i - 2i^2}{2^2 - i^2} $$ Так как $i^2 = -1$: $$ z_1 = \frac{-6 - 7i + 2}{4 - (-1)} = \frac{-4 - 7i}{5} = -\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i $$ Поскольку искомое квадратное уравнение имеет действительные коэффициенты, его второй корень $z_2$ должен быть комплексно сопряжённым с корнем $z_1$: $$ z_2 = \overline{z_1} = -\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i $$ По теореме Виета для приведённого квадратного уравнения $z^2 + pz + q = 0$: $$ p = -(z_1 + z_2) = -\left(\left(-\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i\right) + \left(-\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i\right)\right) = -\left(-\frac{8}{5}\right) = \frac{8}{5} $$ $$ q = z_1 \cdot z_2 = \left(-\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i\right)\left(-\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i\right) = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{49}{25} = \frac{65}{25} = \frac{13}{5} $$ Получаем уравнение: $$ z^2 + \frac{8}{5}z + \frac{13}{5} = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $5$: $$ 5z^2 + 8z + 13 = 0 $$ 2) Упростим число $z_1$, умножив числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое знаменателю: $$ z_1 = \frac{4 - i}{-1 + i} = \frac{(4 - i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{-4 - 4i + i + i^2}{(-1)^2 - i^2} $$ Так как $i^2 = -1$: $$ z_1 = \frac{-4 - 3i - 1}{1 - (-1)} = \frac{-5 - 3i}{2} = -\frac{5}{2} - \frac{3}{2}i $$ Так как коэффициенты квадратного уравнения действительные, вторым корнем является комплексно сопряжённое число: $$ z_2 = \overline{z_1} = -\frac{5}{2} + \frac{3}{2}i $$ Найдём коэффициенты уравнения $z^2 + pz + q = 0$ по теореме Виета: $$ p = -(z_1 + z_2) = -\left(\left(-\frac{5}{2} - \frac{3}{2}i\right) + \left(-\frac{5}{2} + \frac{3}{2}i\right)\right) = -\left(-\frac{10}{2}\right) = 5 $$ $$ q = z_1 \cdot z_2 = \left(-\frac{5}{2} - \frac{3}{2}i\right)\left(-\frac{5}{2} + \frac{3}{2}i\right) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} + \frac{9}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2} $$ Получаем уравнение: $$ z^2 + 5z + \frac{17}{2} = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$ 2z^2 + 10z + 17 = 0 $$ Ответ: 1) $5z^2 + 8z + 13 = 0$; 2) $2z^2 + 10z + 17 = 0$.