ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 654

### 1) $z^4 + 81 = 0$ Запишем уравнение в виде: $$ z^4 = -81 $$ Представим число $-81$ в тригонометрической форме: $$ -81 = 81(\cos \pi + i \sin \pi) $$ Применим формулу корней $n$-й степени из комплексного числа: $$ z_k = \sqrt[4]{81} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{4} \right), \quad k = 0, 1, 2, 3 $$ Так как $\sqrt[4]{81} = 3$, вычислим значения для каждого $k$: * При $k = 0$: $$ z_0 = 3\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) = 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}i $$ * При $k = 1$: $$ z_1 = 3\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right) = 3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}i $$ * При $k = 2$: $$ z_2 = 3\left(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}\right) = 3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}i $$ * При $k = 3$: $$ z_3 = 3\left(\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4}\right) = 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}i $$ Ответ: $\pm \frac{3\sqrt{2}}{2} \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}i$. --- ### 2) $8z^3 - 27 = 0$ Разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности кубов: $$ (2z - 3)(4z^2 + 6z + 9) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: 1. $2z - 3 = 0 \implies z_1 = \frac{3}{2}$ 2. $4z^2 + 6z + 9 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: $$ D = 6^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 36 - 144 = -108 = 108i^2 = (6\sqrt{3}i)^2 $$ $$ z_{2,3} = \frac{-6 \pm 6\sqrt{3}i}{2 \cdot 4} = \frac{-6 \pm 6\sqrt{3}i}{8} = -\frac{3}{4} \pm \frac{3\sqrt{3}}{4}i $$ Ответ: $z_1 = \frac{3}{2}$, $z_{2,3} = -\frac{3}{4} \pm \frac{3\sqrt{3}}{4}i$. --- ### 3) $z^4 = i$ Запишем число $i$ в тригонометрической форме: $$ i = 1 \cdot \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right) $$ Применим формулу извлечения корней $4$-й степени: $$ z_k = \cos \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{4} = \cos \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right), \quad k = 0, 1, 2, 3 $$ * При $k = 0$: $$ z_0 = \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8} $$ * При $k = 1$: $$ z_1 = \cos \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{5\pi}{8} + i \sin \frac{5\pi}{8} $$ * При $k = 2$: $$ z_2 = \cos \left(\frac{\pi}{8} + \pi\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{8} + \pi\right) = \cos \frac{9\pi}{8} + i \sin \frac{9\pi}{8} $$ * При $k = 3$: $$ z_3 = \cos \left(\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos \frac{13\pi}{8} + i \sin \frac{13\pi}{8} $$ Ответ: $\cos \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right)$, где $k \in \{0, 1, 2, 3\}$. --- ### 4) $z^3 = -2i$ Представим число $-2i$ в тригонометрической форме. Модуль $|-2i| = 2$, аргумент $\varphi = \frac{3\pi}{2}$: $$ -2i = 2 \left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right) $$ Найдем корни уравнения: $$ z_k = \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[3]{2} \left( \cos \left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}\right) \right), \quad k = 0, 1, 2 $$ * При $k = 0$: $$ z_0 = \sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right) = \sqrt[3]{2}i $$ * При $k = 1$: $$ z_1 = \sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}\right) = \sqrt[3]{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right) = -\frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}i $$ * При $k = 2$: $$ z_2 = \sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{11\pi}{6} + i \sin \frac{11\pi}{6}\right) = \sqrt[3]{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right) = \frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}i $$ Ответ: $z_0 = \sqrt[3]{2}i$, $z_{1,2} = \mp \frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}i$. --- ### 5) $z^3 = -2 + 2i$ Найдем модуль и аргумент числа $w = -2 + 2i$: $$ |w| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$ $$ \cos \varphi = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \varphi = \frac{3\pi}{4} $$ Тригонометрическая форма: $$ -2 + 2i = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right) $$ Извлекаем корень третьей степени ($\sqrt[3]{2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{8}} = \sqrt{2}$): $$ z_k = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\frac{3\pi}{4} + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\frac{3\pi}{4} + 2\pi k}{3}\right) = \sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}\right)\right), \quad k = 0, 1, 2 $$ * При $k = 0$: $$ z_0 = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 + i $$ * При $k = 1$: $$ z_1 = \sqrt{2}\left(\cos \frac{11\pi}{12} + i \sin \frac{11\pi}{12}\right) $$ * При $k = 2$: $$ z_2 = \sqrt{2}\left(\cos \frac{19\pi}{12} + i \sin \frac{19\pi}{12}\right) $$ Ответ: $1 + i$; $\sqrt{2}\left(\cos \frac{11\pi}{12} + i \sin \frac{11\pi}{12}\right)$; $\sqrt{2}\left(\cos \frac{19\pi}{12} + i \sin \frac{19\pi}{12}\right)$. --- ### 6) $z^4 - i = 1$ Перенесем слагаемые: $$ z^4 = 1 + i $$ Найдем модуль и аргумент числа $1 + i$: $$ |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$ $$ \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \varphi = \frac{\pi}{4} $$ $$ 1 + i = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) $$ Извлекаем корень четвертой степени ($\sqrt[4]{\sqrt{2}} = \sqrt[8]{2}$): $$ z_k = \sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{4}\right) = \sqrt[8]{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\right)\right), \quad k = 0, 1, 2, 3 $$ * При $k = 0$: $$ z_0 = \sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16}\right) $$ * При $k = 1$: $$ z_1 = \sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{9\pi}{16} + i \sin \frac{9\pi}{16}\right) $$ * При $k = 2$: $$ z_2 = \sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{17\pi}{16} + i \sin \frac{17\pi}{16}\right) $$ * При $k = 3$: $$ z_3 = \sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{25\pi}{16} + i \sin \frac{25\pi}{16}\right) $$ Ответ: $\sqrt[8]{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\right)\right)$, где $k \in \{0, 1, 2, 3\}$.