ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 648

1) $z^4 - 3z^2 - 4 = 0$ Данное уравнение является биквадратным относительно неизвестной $z$. Решим его на множестве комплексных чисел. Введём замену переменной: пусть $t = z^2$. Тогда исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения: $$ t^2 - 3t - 4 = 0 $$ Найдём корни этого уравнения с помощью теоремы Виета или через дискриминант: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 $$ $$ t = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} $$ Отсюда получаем: $t_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$, $t_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$. Вернёмся к исходной переменной $z$: 1. $z^2 = 4$ $$ z_{1, 2} = \pm 2 $$ 2. $z^2 = -1$ Учитывая, что $i^2 = -1$: $$ z_{3, 4} = \pm i $$ Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = -2$, $z_3 = i$, $z_4 = -i$. --- 2) $z^4 + 15z^2 - 16 = 0$ Решим биквадратное уравнение на множестве комплексных чисел. Сделаем замену переменной $t = z^2$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 + 15t - 16 = 0 $$ Найдём дискриминант: $$ D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2 $$ Найдём значения $t$: $$ t = \frac{-15 \pm 17}{2} $$ Получаем: $t_1 = \frac{-15 + 17}{2} = 1$, $t_2 = \frac{-15 - 17}{2} = -16$. Вернёмся к замене $z^2 = t$: 1. $z^2 = 1$ $$ z_{1, 2} = \pm 1 $$ 2. $z^2 = -16$ Так как $-16 = 16i^2$: $$ z_{3, 4} = \pm 4i $$ Ответ: $z_1 = 1$, $z_2 = -1$, $z_3 = 4i$, $z_4 = -4i$.