ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 649

1) $z^2 - 4z + 5$ Для разложения квадратного трёхчлена на множители найдём корни соответствующего квадратного уравнения: $$ z^2 - 4z + 5 = 0 $$ Вычислим дискриминант: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 = (2i)^2 $$ Найдём комплексные корни: $$ z_{1, 2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i $$ $$ z_1 = 2 + i, \quad z_2 = 2 - i $$ По формуле разложения квадратного трёхчлена на множители $a(z - z_1)(z - z_2)$: $$ z^2 - 4z + 5 = (z - (2 + i))(z - (2 - i)) = (z - 2 - i)(z - 2 + i) $$ Ответ: $(z - 2 - i)(z - 2 + i)$ 2) $z^2 + 4z + 13$ Приравняем трёхчлен к нулю и найдём его корни: $$ z^2 + 4z + 13 = 0 $$ Вычислим дискриминант: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 = (6i)^2 $$ Найдём корни: $$ z_{1, 2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i $$ $$ z_1 = -2 + 3i, \quad z_2 = -2 - 3i $$ Разложим трёхчлен на множители: $$ z^2 + 4z + 13 = (z - (-2 + 3i))(z - (-2 - 3i)) = (z + 2 - 3i)(z + 2 + 3i) $$ Ответ: $(z + 2 - 3i)(z + 2 + 3i)$ 3) $z^2 + 2z + 4$ Решим квадратное уравнение: $$ z^2 + 2z + 4 = 0 $$ Вычислим дискриминант: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 = (2\sqrt{3}i)^2 $$ Найдём корни: $$ z_{1, 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -1 \pm \sqrt{3}i $$ $$ z_1 = -1 + \sqrt{3}i, \quad z_2 = -1 - \sqrt{3}i $$ Разложим трёхчлен на множители: $$ z^2 + 2z + 4 = (z - (-1 + \sqrt{3}i))(z - (-1 - \sqrt{3}i)) = (z + 1 - \sqrt{3}i)(z + 1 + \sqrt{3}i) $$ Ответ: $(z + 1 - \sqrt{3}i)(z + 1 + \sqrt{3}i)$ 4) $z^2 - 6z + 11$ Решим квадратное уравнение: $$ z^2 - 6z + 11 = 0 $$ Вычислим дискриминант: $$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8 = (2\sqrt{2}i)^2 $$ Найдём корни: $$ z_{1, 2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = 3 \pm \sqrt{2}i $$ $$ z_1 = 3 + \sqrt{2}i, \quad z_2 = 3 - \sqrt{2}i $$ Разложим трёхчлен на множители: $$ z^2 - 6z + 11 = (z - (3 + \sqrt{2}i))(z - (3 - \sqrt{2}i)) = (z - 3 - \sqrt{2}i)(z - 3 + \sqrt{2}i) $$ Ответ: $(z - 3 - \sqrt{2}i)(z - 3 + \sqrt{2}i)$