ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 634

Для возведения комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, в натуральную степень применяется формула Муавра: $$ (r(\cos\varphi + i\sin\varphi))^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)) $$ 1) Возведем комплексное число $\left(2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\right)$ в третью степень: $$ \left(2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\right)^3 = 2^3\left(\cos\left(3 \cdot \frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(3 \cdot \frac{4\pi}{3}\right)\right) $$ $$ = 8(\cos 4\pi + i\sin 4\pi) $$ Так как $\cos 4\pi = 1$, а $\sin 4\pi = 0$: $$ 8(1 + i \cdot 0) = 8 $$ Ответ: $8$. 2) Возведем комплексное число в шестую степень: $$ \left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)^6 = \cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(6 \cdot \frac{\pi}{6}\right) $$ $$ = \cos\pi + i\sin\pi $$ Так как $\cos\pi = -1$, а $\sin\pi = 0$: $$ -1 + i \cdot 0 = -1 $$ Ответ: $-1$. 3) Возведем комплексное число $\left(\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\right)\right)$ в четвертую степень: $$ \left(\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\right)\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{8}\right)\right) $$ $$ = \frac{1}{16}\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) $$ Так как $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, а $\sin\frac{\pi}{2} = 1$: $$ \frac{1}{16}(0 + i \cdot 1) = \frac{1}{16}i $$ Ответ: $\frac{1}{16}i$. 4) Возведем комплексное число в девятую степень: $$ \left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)^9 = \cos\left(9 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) + i\sin\left(9 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) $$ $$ = \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) $$ Используем свойства четности косинуса и нечетности синуса: $$ \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\frac{3\pi}{2} = 0 $$ $$ \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\frac{3\pi}{2} = -(-1) = 1 $$ Подставляем полученные значения: $$ 0 + i \cdot 1 = i $$ Ответ: $i$.