ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 612

1) Вычислим $(1 + i)^8$. Представим комплексное число $z = 1 + i$ в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$. Найдем модуль числа $z$: $$ r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$ Найдем аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \varphi = \frac{\pi}{4} $$ Запишем число в тригонометрической форме: $$ 1 + i = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\right) $$ Применим формулу Муавра $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$: $$ (1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8 \left(\cos\left(8 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(8 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) $$ $$ (1 + i)^8 = 2^4 (\cos 2\pi + i\sin 2\pi) = 16(1 + i \cdot 0) = 16 $$ 2) Вычислим $(1 - i)^{12}$. Представим комплексное число $z = 1 - i$ в тригонометрической форме. Найдем модуль числа $z$: $$ r = |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $$ Найдем аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies \varphi = -\frac{\pi}{4} $$ Запишем число в тригонометрической форме: $$ 1 - i = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) $$ Применим формулу Муавра: $$ (1 - i)^{12} = (\sqrt{2})^{12} \left(\cos\left(12 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) + i\sin\left(12 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right) $$ $$ (1 - i)^{12} = 2^6 (\cos(-3\pi) + i\sin(-3\pi)) $$ Так как $\cos(-3\pi) = -1$, а $\sin(-3\pi) = 0$: $$ (1 - i)^{12} = 64(-1 + i \cdot 0) = -64 $$ Ответ: 1) $16$; 2) $-64$.