ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 611

Пусть комплексные числа $z_1$ и $z_2$ записаны в алгебраической форме: $$ z_1 = x_1 + i y_1, \quad z_2 = x_2 + i y_2 $$ где $x_1, y_1, x_2, y_2 \in \mathbb{R}$. По условию задачи: $$ |z_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = c \implies x_1^2 + y_1^2 = c^2 $$ $$ |z_2| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} = c \implies x_2^2 + y_2^2 = c^2 $$ Найдем сумму и разность данных комплексных чисел: $$ z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i (y_1 + y_2) $$ $$ z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i (y_1 - y_2) $$ Выразим квадраты их модулей: $$ |z_1 + z_2|^2 = (x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 $$ $$ |z_1 - z_2|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 $$ Сложим эти выражения: $$ |z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = (x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 + (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 $$ Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $$ (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) + (y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2) + (x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2) + (y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2) $$ Приведем подобные слагаемые (удвоенные произведения взаимно уничтожаются): $$ = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2y_1^2 + 2y_2^2 = 2(x_1^2 + y_1^2) + 2(x_2^2 + y_2^2) $$ Так как $x_1^2 + y_1^2 = |z_1|^2 = c^2$ и $x_2^2 + y_2^2 = |z_2|^2 = c^2$, подставим эти значения: $$ 2c^2 + 2c^2 = 4c^2 $$ Таким образом, получено равенство: $$ |z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 4c^2 $$ Тождество доказано.