ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 610

1) Вычислим значение выражения: $$ i^6 + i^{20} + i^{30} + i^{36} + i^{54} $$ Используем свойство степеней мнимой единицы: $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, а также общее правило $i^{4k + r} = (i^4)^k \cdot i^r = 1^k \cdot i^r = i^r$, где $k \in \mathbb{N}$, $r \in \{0, 1, 2, 3\}$. Представим каждый показатель степени через деление с остатком на $4$: * $i^6 = i^{4 \cdot 1 + 2} = i^2 = -1$; * $i^{20} = i^{4 \cdot 5 + 0} = i^0 = 1$; * $i^{30} = i^{4 \cdot 7 + 2} = i^2 = -1$; * $i^{36} = i^{4 \cdot 9 + 0} = i^0 = 1$; * $i^{54} = i^{4 \cdot 13 + 2} = i^2 = -1$. Подставим найденные значения в исходное выражение: $$ i^6 + i^{20} + i^{30} + i^{36} + i^{54} = -1 + 1 + (-1) + 1 + (-1) = -1 $$ 2) Вычислим значение выражения: $$ \frac{1}{i^{13}} + \frac{1}{i^{23}} + \frac{1}{i^{33}} $$ Найдем степени мнимой единицы в знаменателях дробей: * $i^{13} = i^{4 \cdot 3 + 1} = i^1 = i$; * $i^{23} = i^{4 \cdot 5 + 3} = i^3 = -i$; * $i^{33} = i^{4 \cdot 8 + 1} = i^1 = i$. Подставим полученные результаты в выражение: $$ \frac{1}{i^{13}} + \frac{1}{i^{23}} + \frac{1}{i^{33}} = \frac{1}{i} + \frac{1}{-i} + \frac{1}{i} = \frac{1}{i} - \frac{1}{i} + \frac{1}{i} = \frac{1}{i} $$ Избавимся от мнимости в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $i$: $$ \frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i $$ Ответ: 1) $-1$; 2) $-i$.