ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 607

При вычислениях используем основное свойство мнимой единицы: $i^2 = -1$, откуда $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, а также формулы сокращённого умножения. **1)** Вычислим $(3 - 2i)^2$, применив формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$(3 - 2i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2i + (2i)^2 = 9 - 12i + 4i^2$$ Так как $i^2 = -1$: $$9 - 12i + 4(-1) = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i$$ **2)** Вычислим $(1 + 2i)^3$, применив формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$: $$(1 + 2i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot (2i) + 3 \cdot 1 \cdot (2i)^2 + (2i)^3 = 1 + 6i + 3 \cdot 4i^2 + 8i^3$$ Учитывая, что $i^2 = -1$ и $i^3 = -i$: $$1 + 6i + 12(-1) + 8(-i) = 1 + 6i - 12 - 8i = -11 - 2i$$ **3)** Представим четвёртую степень как квадрат квадрата: $$(1 + i)^4 = \left((1 + i)^2\right)^2$$ Сначала возведём выражение в скобках в квадрат: $$(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$$ Теперь возведём полученный результат во вторую степень: $$(2i)^2 = 4i^2 = 4(-1) = -4$$ **4)** Представим шестую степень как куб квадрата: $$(1 - i)^6 = \left((1 - i)^2\right)^3$$ Возведём выражение в скобках в квадрат: $$(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$$ Возведём полученный результат в куб: $$(-2i)^3 = (-2)^3 \cdot i^3 = -8 \cdot (-i) = 8i$$ **5)** Вычислим кубы каждого из выражений отдельно: $$(1 + i)^3 = (1 + i)^2 \cdot (1 + i) = 2i(1 + i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i$$ $$(1 - i)^3 = (1 - i)^2 \cdot (1 - i) = -2i(1 - i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2 = -2 - 2i$$ Найдём их разность: $$(1 + i)^3 - (1 - i)^3 = (-2 + 2i) - (-2 - 2i) = -2 + 2i + 2 + 2i = 4i$$ **6)** Применим формулы квадрата суммы и квадрата разности: $$\left(\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{i\sqrt{3}}{2} + \left(\frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{i\sqrt{3}}{2} + \frac{3i^2}{4}$$ Так как $i^2 = -1$: $$\frac{1}{4} + \frac{i\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} + \frac{i\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}$$ Аналогично для второго слагаемого: $$\left(\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{i\sqrt{3}}{2} + \left(\frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{i\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2}$$ Сложим полученные результаты: $$\left(-\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$$ **Ответ:** 1) $5 - 12i$; 2) $-11 - 2i$; 3) $-4$; 4) $8i$; 5) $4i$; 6) $-1$.