ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 606

**№ 606** 1) $z(3 - 2i) = 1 + 2i$ Выразим неизвестное $z$: $$ z = \frac{1 + 2i}{3 - 2i} $$ Умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, то есть на $(3 + 2i)$: $$ z = \frac{(1 + 2i)(3 + 2i)}{(3 - 2i)(3 + 2i)} $$ Применим формулу разности квадратов в знаменателе и раскроем скобки в числителе, учитывая, что $i^2 = -1$: $$ z = \frac{3 + 2i + 6i + 4i^2}{3^2 - (2i)^2} $$ $$ z = \frac{3 + 8i - 4}{9 - (-4)} = \frac{-1 + 8i}{13} = -\frac{1}{13} + \frac{8}{13}i $$ Ответ: $z = -\frac{1}{13} + \frac{8}{13}i$. --- 2) $z(-3 + 2i) = 5 - 4i$ Выразим $z$: $$ z = \frac{5 - 4i}{-3 + 2i} $$ Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число $(-3 - 2i)$: $$ z = \frac{(5 - 4i)(-3 - 2i)}{(-3 + 2i)(-3 - 2i)} $$ Выполним умножение в числителе и знаменателе, учитывая, что $i^2 = -1$: $$ z = \frac{-15 - 10i + 12i + 8i^2}{(-3)^2 - (2i)^2} $$ $$ z = \frac{-15 + 2i - 8}{9 - (-4)} = \frac{-23 + 2i}{13} = -\frac{23}{13} + \frac{2}{13}i $$ Ответ: $z = -\frac{23}{13} + \frac{2}{13}i$. --- 3) $z(1 - 3i) - 6 = 2i$ Перенесем свободное слагаемое в правую часть уравнения: $$ z(1 - 3i) = 6 + 2i $$ Выразим $z$: $$ z = \frac{6 + 2i}{1 - 3i} $$ Умножим числитель и знаменатель на $(1 + 3i)$: $$ z = \frac{(6 + 2i)(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)} $$ Раскроем скобки: $$ z = \frac{6 + 18i + 2i + 6i^2}{1^2 - (3i)^2} $$ Так как $i^2 = -1$: $$ z = \frac{6 + 20i - 6}{1 - (-9)} = \frac{20i}{10} = 2i $$ Ответ: $z = 2i$. --- 4) $z(-1 + i) - 7i = -1$ Перенесем $-7i$ в правую часть: $$ z(-1 + i) = -1 + 7i $$ Выразим $z$: $$ z = \frac{-1 + 7i}{-1 + i} $$ Умножим числитель и знаменатель на $(-1 - i)$: $$ z = \frac{(-1 + 7i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} $$ Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе: $$ z = \frac{1 + i - 7i - 7i^2}{(-1)^2 - i^2} $$ Подставим $i^2 = -1$: $$ z = \frac{1 - 6i + 7}{1 - (-1)} = \frac{8 - 6i}{2} = 4 - 3i $$ Ответ: $z = 4 - 3i$.