ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 604

Два комплексных числа называются противоположными, если их сумма равна нулю, то есть $z_1 = -z_2$. Запишем комплексные числа в стандартной алгебраической форме: $$ z_1 = (x - 8) - 6i $$ $$ z_2 = (2x^2 - 2) + 6i $$ Для того чтобы числа $z_1$ и $z_2$ были противоположными, их действительные и мнимые части должны быть противоположными числами: $$ \begin{cases} \operatorname{Re}(z_1) = -\operatorname{Re}(z_2) \\ \operatorname{Im}(z_1) = -\operatorname{Im}(z_2) \end{cases} $$ Для мнимых частей равенство выполняется тождественно: $$ -6 = -(6) $$ Следовательно, достаточно приравнять действительные части с противоположным знаком: $$ x - 8 = -(2x^2 - 2) $$ Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть: $$ x - 8 = -2x^2 + 2 $$ $$ 2x^2 + x - 10 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 = 9^2 $$ $$ x_1 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2,5 $$ Ответ: $x = 2$; $x = -2,5$.