ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 593

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Используем это свойство для нахождения действительных значений $x$ и $y$ в каждом пункте. 1) $(x + 2yi) + (3y - 2xi) = 2 + 4i$ Приведем левую часть к алгебраической форме $a + bi$: $$ (x + 3y) + (2y - 2x)i = 2 + 4i $$ Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + 3y = 2 \\ -2x + 2y = 4 \end{cases} $$ Разделим второе уравнение системы на $2$: $$ -x + y = 2 \implies x = y - 2 $$ Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение: $$ (y - 2) + 3y = 2 $$ $$ 4y - 2 = 2 $$ $$ 4y = 4 $$ $$ y = 1 $$ Найдем значение $x$: $$ x = 1 - 2 = -1 $$ Ответ: $x = -1$, $y = 1$. --- 2) $(2x + 5yi) + (y + xi) = 2 + i$ Запишем левую часть уравнения в виде $a + bi$: $$ (2x + y) + (x + 5y)i = 2 + i $$ Приравняем соответственно действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} 2x + y = 2 \\ x + 5y = 1 \end{cases} $$ Выразим $y$ из первого уравнения: $$ y = 2 - 2x $$ Подставим во второе уравнение: $$ x + 5(2 - 2x) = 1 $$ $$ x + 10 - 10x = 1 $$ $$ -9x = 1 - 10 $$ $$ -9x = -9 $$ $$ x = 1 $$ Найдем значение $y$: $$ y = 2 - 2 \cdot 1 = 0 $$ Ответ: $x = 1$, $y = 0$. --- 3) $y - \frac{10}{x} + 7i = \frac{8i}{x} + yi - 2$ Область допустимых значений: $x \ne 0$. Сгруппируем действительные и мнимые части в обеих частях уравнения: $$ \left(y - \frac{10}{x}\right) + 7i = -2 + \left(\frac{8}{x} + y\right)i $$ Приравняем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} y - \dfrac{10}{x} = -2 \\ \dfrac{8}{x} + y = 7 \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $$ y = 7 - \frac{8}{x} $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ 7 - \frac{8}{x} - \frac{10}{x} = -2 $$ $$ 7 - \frac{18}{x} = -2 $$ $$ -\frac{18}{x} = -9 $$ $$ \frac{18}{x} = 9 $$ $$ x = 2 $$ Значение $x = 2$ удовлетворяет условию $x \ne 0$. Найдем $y$: $$ y = 7 - \frac{8}{2} = 7 - 4 = 3 $$ Ответ: $x = 2$, $y = 3$. --- 4) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{i}{x} = \frac{3}{x} - \frac{i}{y} + 3i$ Область допустимых значений: $x \ne 0$, $y \ne 0$. Выделим действительную и мнимую части в обеих частях равенства: $$ \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) + \frac{1}{x}i = \frac{3}{x} + \left(3 - \frac{1}{y}\right)i $$ Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{x} \\ \dfrac{1}{x} = 3 - \dfrac{1}{y} \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $\frac{1}{y}$: $$ \frac{1}{y} = \frac{3}{x} - \frac{1}{x} = \frac{2}{x} $$ Подставим $\frac{1}{y} = \frac{2}{x}$ во второе уравнение: $$ \frac{1}{x} = 3 - \frac{2}{x} $$ $$ \frac{1}{x} + \frac{2}{x} = 3 $$ $$ \frac{3}{x} = 3 $$ $$ x = 1 $$ Так как $x = 1 \ne 0$, найдем $y$: $$ \frac{1}{y} = \frac{2}{1} = 2 \implies y = \frac{1}{2} $$ Значение $y = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $y \ne 0$. Ответ: $x = 1$, $y = \frac{1}{2}$.