ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 590

1) Сложим действительные и мнимые части комплексных чисел: $$ (a + 3bi) + (a - 5bi) = (a + a) + (3b - 5b)i = 2a - 2bi $$ Ответ: $2a - 2bi$. 2) Сложим действительные и мнимые части: $$ (3a + 2bi) + (-7a - 2bi) = (3a - 7a) + (2b - 2b)i = -4a + 0i = -4a $$ Ответ: $-4a$. 3) Применим формулу разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$ и учтем, что $i^2 = -1$: $$ (a + 3bi)(a - 3bi) = a^2 - (3bi)^2 = a^2 - 9b^2 i^2 = a^2 - 9b^2(-1) = a^2 + 9b^2 $$ Ответ: $a^2 + 9b^2$. 4) Применим формулу разности квадратов и учтем, что $i^2 = -1$: $$ (2a + bi)(2a - bi) = (2a)^2 - (bi)^2 = 4a^2 - b^2 i^2 = 4a^2 - b^2(-1) = 4a^2 + b^2 $$ Ответ: $4a^2 + b^2$. 5) Выполним почленное умножение скобок и применим равенство $i^2 = -1$: $$ (2b + 3ai)(3a + 2bi) = 2b \cdot 3a + 2b \cdot 2bi + 3ai \cdot 3a + 3ai \cdot 2bi = 6ab + 4b^2 i + 9a^2 i + 6abi^2 $$ Так как $i^2 = -1$, слагаемое $6abi^2 = -6ab$: $$ 6ab + (9a^2 + 4b^2)i - 6ab = (6ab - 6ab) + (9a^2 + 4b^2)i = (9a^2 + 4b^2)i $$ Ответ: $(9a^2 + 4b^2)i$. 6) Раскроем скобки, перемножив слагаемые, и применим равенство $i^2 = -1$: $$ (3a + 4bi)(4b + 3ai) = 3a \cdot 4b + 3a \cdot 3ai + 4bi \cdot 4b + 4bi \cdot 3ai = 12ab + 9a^2 i + 16b^2 i + 12abi^2 $$ Так как $i^2 = -1$, слагаемое $12abi^2 = -12ab$: $$ 12ab + (9a^2 + 16b^2)i - 12ab = (12ab - 12ab) + (9a^2 + 16b^2)i = (9a^2 + 16b^2)i $$ Ответ: $(9a^2 + 16b^2)i$.