ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 579

Испытание заключается в наблюдении за 10 насекомыми. Так как насекомые выбираются независимо друг от друга и вероятность для каждого прожить более 100 дней постоянна, воспользуемся схемой Бернулли. Число испытаний $n = 10$. Вероятность «успеха» (насекомое проживет более 100 дней) в одном испытании: $$ p = 0{,}5 $$ Вероятность противоположного события: $$ q = 1 - p = 1 - 0{,}5 = 0{,}5 $$ Событие $A$ — «не менее 8 экземпляров из 10 будут жить более 100 дней». Это означает, что число выживших насекомых $k$ может принимать значения 8, 9 или 10. По теореме сложения вероятностей несовместных событий: $$ P(A) = P_{10}(8) + P_{10}(9) + P_{10}(10) $$ Используем формулу Бернулли: $$ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} $$ Поскольку $p = q = 0{,}5$, для любого $k$ от 0 до 10: $$ p^k \cdot q^{10-k} = (0{,}5)^{10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024} $$ Вычислим число сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ для каждого случая: $$ C_{10}^8 = C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 $$ $$ C_{10}^9 = C_{10}^1 = 10 $$ $$ C_{10}^{10} = 1 $$ Найдем вероятность события $A$: $$ P(A) = (45 + 10 + 1) \cdot \frac{1}{1024} = \frac{56}{1024} = \frac{7}{128} = 0{,}0546875 $$ Ответ: $\frac{7}{128}$ (или $0{,}0546875$).