ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 578

В данном опыте проводится серия из $n = 5$ независимых испытаний (схема Бернулли). При каждом броске игрального кубика вероятность выпадения одного очка (успех) равна: $$ p = \frac{1}{6} $$ Вероятность того, что одно очко не появится (неудача), равна: $$ q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $$ Для нахождения вероятности того, что событие наступит ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, применяется формула Бернулли: $$ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}, \quad \text{где } C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ Общее число исходов в знаменателе при каждом расчете: $6^5 = 7776$. 1) Вероятность того, что одно очко появится ровно 2 раза ($k = 2$): $$ P_5(2) = C_5^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 $$ Число сочетаний: $$ C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 $$ Вычисляем вероятность: $$ P_5(2) = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{10 \cdot 125}{7776} = \frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888} $$ 2) Вероятность того, что одно очко появится ровно 3 раза ($k = 3$): $$ P_5(3) = C_5^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 $$ Число сочетаний: $$ C_5^3 = C_5^2 = 10 $$ Вычисляем вероятность: $$ P_5(3) = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36} = \frac{250}{7776} = \frac{125}{3888} $$ 3) Вероятность того, что одно очко появится не более 2 раз ($k \le 2$): Событие означает, что одно очко выпадет 0, 1 или 2 раза: $$ P(k \le 2) = P_5(0) + P_5(1) + P_5(2) $$ Найдем вероятности для $k = 0$ и $k = 1$: $$ P_5(0) = C_5^0 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3125}{7776} = \frac{3125}{7776} $$ $$ P_5(1) = C_5^1 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{625}{1296} = \frac{3125}{7776} $$ Складываем полученные вероятности: $$ P(k \le 2) = \frac{3125}{7776} + \frac{3125}{7776} + \frac{1250}{7776} = \frac{7500}{7776} = \frac{625}{648} $$ 4) Вероятность того, что одно очко появится не менее 4 раз ($k \ge 4$): Событие означает, что одно очко выпадет 4 или 5 раз: $$ P(k \ge 4) = P_5(4) + P_5(5) $$ Вычисляем слагаемые: $$ P_5(4) = C_5^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1 = 5 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{7776} $$ $$ P_5(5) = C_5^5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{7776} \cdot 1 = \frac{1}{7776} $$ Складываем вероятности: $$ P(k \ge 4) = \frac{25}{7776} + \frac{1}{7776} = \frac{26}{7776} = \frac{13}{3888} $$ Ответ: 1) $\frac{625}{3888}$; 2) $\frac{125}{3888}$; 3) $\frac{625}{648}$; 4) $\frac{13}{3888}$.