ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 575

В полной колоде 52 карты, из них 4 туза и $52 - 4 = 48$ карт других достоинств. Колода делится на две равные пачки по 26 карт. Если в одной из пачек оказывается ровно 2 туза, то в другой пачке автоматически также будет ровно $4 - 2 = 2$ туза. Таким образом, событие $A$ заключается в том, что в случайно выбранной пачке из 26 карт содержится ровно 2 туза. Для нахождения вероятности воспользуемся классическим определением вероятности: $$ P(A) = \frac{m}{n} $$ где $n$ — общее число способов выбрать 26 карт из 52, а $m$ — число благоприятных исходов (выбрать 2 туза из 4 имеющихся и $26 - 2 = 24$ остальные карты из 48 не-тузов). 1. Общее число возможных исходов равно числу сочетаний из 52 по 26: $$ n = C_{52}^{26} $$ 2. Число благоприятных исходов равно произведению числа способов выбрать 2 туза из 4 и 24 карты из оставшихся 48: $$ m = C_{4}^{2} \cdot C_{48}^{24} $$ 3. Найдём искомую вероятность: $$ P(A) = \frac{C_{4}^{2} \cdot C_{48}^{24}}{C_{52}^{26}} $$ Распишем сочетания через факториалы: $$ C_{4}^{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 $$ $$ P(A) = \frac{6 \cdot \dfrac{48!}{24! \cdot 24!}}{\dfrac{52!}{26! \cdot 26!}} = 6 \cdot \frac{48!}{52!} \cdot \frac{26! \cdot 26!}{24! \cdot 24!} $$ Упростим отношение факториалов: $$ \frac{48!}{52!} = \frac{1}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} $$ $$ \frac{26!}{24!} = 25 \cdot 26 $$ Подставим полученные выражения: $$ P(A) = 6 \cdot \frac{(25 \cdot 26) \cdot (25 \cdot 26)}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} $$ Выполним сокращения дроби: - Сократим 26 и 52 на 26 (в знаменателе останется 2); - Сократим 25 и 50 на 25 (в знаменателе останется 2); - Получаем в знаменателе $2 \cdot 2 = 4$; - Сократим 6 и 4 на 2 (в числителе 3, в знаменателе 2); - Сократим 26 в числителе и 2 в знаменателе на 2 (в числителе останется 13); - Сократим 3 в числителе и 51 в знаменателе на 3 (в знаменателе останется 17). В итоге получаем: $$ P(A) = \frac{13 \cdot 25}{17 \cdot 49} = \frac{325}{833} \approx 0{,}39 $$ Ответ: $\dfrac{325}{833}$ (или $\approx 0{,}39$).