ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 569

Пусть событие $A$ заключается в том, что среди имеющихся $k$ билетов есть хотя бы один выигрышный. Тогда противоположное событие $\overline{A}$ состоит в том, что среди $k$ билетов нет ни одного выигрышного, то есть все $k$ билетов являются невыигрышными (проигрышными). Всего в лотерее $n$ билетов, из них $m$ выигрышных, следовательно, количество невыигрышных билетов равно: $$ n - m $$ По условию $k \leqslant n - m$, то есть число имеющихся билетов не превосходит общего количества невыигрышных билетов. Общее число способов выбрать $k$ билетов из всей совокупности $n$ билетов равно числу сочетаний: $$ N = C_n^k $$ Число благоприятных исходов для события $\overline{A}$ равно числу способов выбрать $k$ билетов только из $n - m$ невыигрышных: $$ N(\overline{A}) = C_{n-m}^k $$ По классическому определению вероятности, вероятность события $\overline{A}$ равна: $$ P(\overline{A}) = \frac{C_{n-m}^k}{C_n^k} $$ Вероятность наступления события $A$ (наличия хотя бы одного выигрышного билета) находится через вероятность противоположного события: $$ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{C_{n-m}^k}{C_n^k} $$ Распишем отношение сочетаний через факториалы: $$ \frac{C_{n-m}^k}{C_n^k} = \frac{\frac{(n - m)!}{k!(n - m - k)!}}{\frac{n!}{k!(n - k)!}} = \frac{(n - m)!(n - k)!}{n!(n - m - k)!} $$ Таким образом, искомая вероятность равна: $$ P = 1 - \frac{C_{n-m}^k}{C_n^k} = 1 - \frac{(n - m)!(n - k)!}{n!(n - m - k)!} $$ Ответ: $1 - \dfrac{C_{n-m}^k}{C_n^k}$