ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 551

Проводится серия из $n = 5$ независимых испытаний (бросков игрального кубика). При каждом отдельном броске вероятность того, что выпадет грань с шестью очками («успех»), равна: $$ p = \frac{1}{6} $$ Вероятность противоположного события («неудача» — выпадет любое другое число очков): $$ q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $$ Для нахождения вероятности того, что в $n$ испытаниях успех наступит ровно $k$ раз, применим формулу Бернулли: $$ P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} $$ где число сочетаний вычисляется по формуле: $$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ 1) Найдем вероятность того, что 6 очков появятся ровно $k = 2$ раза. Число сочетаний: $$ C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 $$ Подставим значения в формулу Бернулли: $$ P_5(2) = C_5^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5-2} = 10 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 $$ $$ P_5(2) = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{10 \cdot 125}{7776} = \frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888} \approx 0{,}161 $$ 2) Найдем вероятность того, что 6 очков появятся ровно $k = 4$ раза. Число сочетаний: $$ C_5^4 = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5 $$ Подставим значения в формулу Бернулли: $$ P_5(4) = C_5^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5-4} = 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1 $$ $$ P_5(4) = 5 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{7776} \approx 0{,}0032 $$ Ответ: 1) $\frac{625}{3888}$ (или $\approx 0{,}161$); 2) $\frac{25}{7776}$ (или $\approx 0{,}0032$).