ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 502

В классе 25 учеников. Каждый день дежурит пара учеников. Чтобы никакие 2 ученика не дежурили вместе дважды, каждый день года должна дежурить новая (не повторявшаяся ранее) пара. Найдем общее количество всевозможных различных пар дежурных, которые можно составить из 25 учеников класса. Так как порядок выбора в паре не имеет значения, воспользуемся формулой числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$ Для $n = 25$ и $k = 2$: $$ C_{25}^2 = \frac{25!}{2! \cdot (25 - 2)!} = \frac{25!}{2! \cdot 23!} = \frac{24 \cdot 25}{2} = 12 \cdot 25 = 300 $$ Таким образом, всего существует 300 различных пар дежурных. В году 365 дней (в високосном году — 366 дней). Поскольку расписание ежедневное и составляется на весь год, требуется как минимум 365 дежурств. Так как количество дней в году превосходит максимально возможное число различных пар ($365 > 300$), то по принципу Дирихле хотя бы одна пара учеников вынуждена будет дежурить повторно. Следовательно, составить такое расписание невозможно. Ответ: нельзя.