ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 487

**1)** Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x}$, прямыми $x = 1$, $x = 4$ и осью абсцисс ($y = 0$). На отрезке $[1; 4]$ функция $f(x) = \sqrt{x}$ непрерывна и неотрицательна ($f(x) \geqslant 0$). Следовательно, площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона — Лейбница: $$ S = \int_{1}^{4} \sqrt{x}\,dx $$ Так как $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, первообразная функции имеет вид: $$ F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x\sqrt{x} $$ Вычислим интеграл: $$ S = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} \right]_{1}^{4} = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} - \frac{2}{3} \cdot 1\sqrt{1} = \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} $$ **Ответ:** $4\frac{2}{3}$ --- **2)** Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \cos x$, прямыми $x = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$ и осью абсцисс ($y = 0$). На отрезке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$ функция $f(x) = \cos x$ непрерывна и принимает неотрицательные значения ($\cos x \geqslant 0$). Площадь данной криволинейной трапеции находится по формуле: $$ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x\,dx $$ Одной из первообразных для функции $f(x) = \cos x$ является функция $F(x) = \sin x$. Применяя формулу Ньютона — Лейбница, получаем: $$ S = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \sin\frac{\pi}{3} - \sin 0 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{3}}{2}$