ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 488

1) Используем свойство числа сочетаний $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$: Сначала сложим первые два слагаемых: $$ C_{12}^2 + C_{12}^3 = C_{13}^3 $$ Теперь подставим полученный результат в выражение и применили то же свойство еще раз: $$ C_{13}^3 + C_{13}^4 = C_{14}^4 $$ Вычислим значение $C_{14}^4$: $$ C_{14}^4 = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{24} = 7 \cdot 13 \cdot 11 = 1001 $$ Ответ: $1001$. 2) Применим свойство $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$ последовательно: Сложим первые два слагаемых: $$ C_9^3 + C_9^4 = C_{10}^4 $$ Сложим полученную сумму с третьим слагаемым: $$ C_{10}^4 + C_{10}^5 = C_{11}^5 $$ Вычислим значение $C_{11}^5$: $$ C_{11}^5 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{120} = 11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 462 $$ Ответ: $462$. 3) По свойству $C_{n+1}^{k+1} = C_n^k + C_n^{k+1}$ при $n = 7$ и $k = 3$ имеем: $$ C_8^4 = C_7^3 + C_7^4 $$ Отсюда выразим разность: $$ C_8^4 - C_7^4 = C_7^3 $$ Вычислим значение $C_7^3$: $$ C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 $$ Ответ: $35$. 4) По свойству $C_{n+1}^{k+1} = C_n^k + C_n^{k+1}$ при $n = 8$ и $k = 2$ имеем: $$ C_9^3 = C_8^2 + C_8^3 $$ Отсюда выразим разность: $$ C_9^3 - C_8^2 = C_8^3 $$ Вычислим значение $C_8^3$: $$ C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 $$ Ответ: $56$. 5) Используем свойства суммы всех чисел сочетаний $\sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$ и симметрии сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$. Для $n = 7$: $$ C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7 = 128 $$ В силу свойства симметрии: $$ C_7^0 = C_7^7, \quad C_7^1 = C_7^6, \quad C_7^2 = C_7^5, \quad C_7^3 = C_7^4 $$ Следовательно: $$ C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 = C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 $$ Значит, искомая сумма равна половине общей суммы всех коэффициентов: $$ C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = \frac{2^7}{2} = 2^6 = 64 $$ Ответ: $64$. 6) Разобьем выражение на две части и применим свойства $\sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$ и $C_n^k = C_n^{n-k}$: Для первой части суммы ($n = 5$): $$ C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 2^5 = 32 $$ Так как $C_5^0 = C_5^5$, $C_5^1 = C_5^4$, $C_5^2 = C_5^3$, сумма первой половины слагаемых равна половине всей суммы: $$ C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 = \frac{2^5}{2} = 2^4 = 16 $$ Для второй части суммы ($n = 9$): $$ C_9^0 + C_9^1 + \dots + C_9^9 = 2^9 = 512 $$ Так как $C_9^k = C_9^{9-k}$, сумма старших пяти слагаемых равна сумме младших пяти: $$ C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 + C_9^9 = \frac{2^9}{2} = 2^8 = 256 $$ Сложим обе части: $$ 16 + 256 = 272 $$ Ответ: $272$.