ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 482

Для разложения выражений применим формулу бинома Ньютона: $$ (a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^{n-1} ab^{n-1} + C_n^n b^n $$ где биномиальные коэффициенты определяются по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ или с помощью треугольника Паскаля. **1)** $(x + 1)^6$ Для степени $n = 6$ коэффициенты строки треугольника Паскаля равны: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$. Запишем разложение: $$ (x + 1)^6 = C_6^0 x^6 + C_6^1 x^5 \cdot 1 + C_6^2 x^4 \cdot 1^2 + C_6^3 x^3 \cdot 1^3 + C_6^4 x^2 \cdot 1^4 + C_6^5 x \cdot 1^5 + C_6^6 \cdot 1^6 $$ $$ (x + 1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1 $$ **Ответ:** $x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$ --- **2)** $(x - 1)^5$ Для степени $n = 5$ коэффициенты строки треугольника Паскаля равны: $1, 5, 10, 10, 5, 1$. Так как в скобках стоит знак «$-$», знаки слагаемых в разложении чередуются: $$ (x - 1)^5 = C_5^0 x^5 - C_5^1 x^4 \cdot 1 + C_5^2 x^3 \cdot 1^2 - C_5^3 x^2 \cdot 1^3 + C_5^4 x \cdot 1^4 - C_5^5 \cdot 1^5 $$ $$ (x - 1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1 $$ **Ответ:** $x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$ --- **3)** $(2 - a)^4$ Для степени $n = 4$ коэффициенты строки треугольника Паскаля равны: $1, 4, 6, 4, 1$. Запишем разложение с чередованием знаков: $$ (2 - a)^4 = C_4^0 \cdot 2^4 - C_4^1 \cdot 2^3 \cdot a + C_4^2 \cdot 2^2 \cdot a^2 - C_4^3 \cdot 2 \cdot a^3 + C_4^4 \cdot a^4 $$ Выполним вычисления: $$ (2 - a)^4 = 1 \cdot 16 - 4 \cdot 8 \cdot a + 6 \cdot 4 \cdot a^2 - 4 \cdot 2 \cdot a^3 + 1 \cdot a^4 $$ $$ (2 - a)^4 = 16 - 32a + 24a^2 - 8a^3 + a^4 $$ (или, записывая по убывающим степеням переменной: $a^4 - 8a^3 + 24a^2 - 32a + 16$). **Ответ:** $16 - 32a + 24a^2 - 8a^3 + a^4$ --- **4)** $(a + 3)^4$ Для степени $n = 4$ коэффициенты равны: $1, 4, 6, 4, 1$. Запишем разложение: $$ (a + 3)^4 = C_4^0 a^4 + C_4^1 a^3 \cdot 3 + C_4^2 a^2 \cdot 3^2 + C_4^3 a \cdot 3^3 + C_4^4 \cdot 3^4 $$ Выполним вычисления: $$ (a + 3)^4 = 1 \cdot a^4 + 4 \cdot 3a^3 + 6 \cdot 9a^2 + 4 \cdot 27a + 1 \cdot 81 $$ $$ (a + 3)^4 = a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81 $$ **Ответ:** $a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81$