ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 428

1) $\frac{P_n}{P_{n+1}} = \frac{1}{3}$ По определению числа перестановок $P_k = k!$, где $k \in \mathbb{N}$. Для существования $P_n$ и $P_{n+1}$ необходимо, чтобы $n \in \mathbb{N}$ ($n \ge 1$). Распишем факториалы: $$ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{3} $$ Используя свойство факториала $(n+1)! = n! \cdot (n+1)$, упростим дробь: $$ \frac{n!}{n! \cdot (n+1)} = \frac{1}{3} $$ $$ \frac{1}{n+1} = \frac{1}{3} $$ Отсюда: $$ n + 1 = 3 $$ $$ n = 2 $$ Число $2$ является натуральным. Ответ: $2$. --- 2) $\frac{nP_{n-2}}{P_n} = 0,1$ Для существования $P_{n-2}$ необходимо, чтобы $n - 2 \ge 0$, то есть $n \ge 2$, $n \in \mathbb{N}$. Запишем формулы перестановок через факториалы: $$ \frac{n \cdot (n-2)!}{n!} = \frac{1}{10} $$ Разложим $n!$ в знаменателе как $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$: $$ \frac{n \cdot (n-2)!}{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!} = \frac{1}{10} $$ Сократим дробь на $n \cdot (n-2)! \neq 0$: $$ \frac{1}{n-1} = \frac{1}{10} $$ Отсюда: $$ n - 1 = 10 $$ $$ n = 11 $$ Значение $n = 11$ удовлетворяет условию $n \ge 2$, $n \in \mathbb{N}$. Ответ: $11$. --- 3) $\frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}} - 1 = 0$ Для существования $P_{n-1}$ необходимо, чтобы $n - 1 \ge 0$, то есть $n \ge 1$, $n \in \mathbb{N}$. Перенесем единицу в правую часть уравнения: $$ \frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}} = 1 $$ Распишем перестановки через факториалы: $$ \frac{2(n-1)!}{(n+1)!} = 1 $$ Так как $(n+1)! = (n-1)! \cdot n \cdot (n+1)$, получаем: $$ \frac{2(n-1)!}{(n-1)! \cdot n(n+1)} = 1 $$ Сократим дробь на $(n-1)!$: $$ \frac{2}{n(n+1)} = 1 $$ $$ n(n+1) = 2 $$ $$ n^2 + n - 2 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: $n_1 = 1$, $n_2 = -2$. Так как $n \in \mathbb{N}$, значение $n_2 = -2$ не подходит. Проверим корень $n = 1$: при $n = 1$ получаем $P_0 = 0! = 1$, что допустимо. Ответ: $1$.