ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 426

1) По определению факториала $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$, следовательно, $n! \cdot (n + 1) = (n + 1)!$. $$ 7! \cdot 8 = 8! $$ 2) Переставим множители и применим свойство факториала: $$ 16 \cdot 15! = 15! \cdot 16 = 16! $$ 3) Последовательно объединяем множители: $$ 12! \cdot 13 \cdot 14 = (12! \cdot 13) \cdot 14 = 13! \cdot 14 = 14! $$ 4) Умножение $k!$ на следующее за $k$ натуральное число $(k + 1)$ даёт факториал этого числа: $$ k! \cdot (k + 1) = (k + 1)! $$ 5) Произведение факториала числа $(k - 1)$ на следующее за ним число $k$ даёт $k!$: $$ (k - 1)! \cdot k = k! $$ 6) Последовательно сворачиваем выражение: $$ (k - 1)! \cdot k(k + 1) = ((k - 1)! \cdot k) \cdot (k + 1) = k! \cdot (k + 1) = (k + 1)! $$ 7) Переставим множители для наглядности: $$ (k - 2)! \cdot (k - 1)k = ((k - 2)! \cdot (k - 1)) \cdot k = (k - 1)! \cdot k = k! $$ 8) Разложим квадратный трёхчлен $k^2 - 7k + 12$ на множители. По теореме Виета сумма корней равна $7$, а произведение равно $12$, откуда корни $k_1 = 3$, $k_2 = 4$: $$ k^2 - 7k + 12 = (k - 4)(k - 3) $$ Подставим полученное разложение в исходное выражение и выполним последовательное умножение: $$ (k - 5)! \cdot (k^2 - 7k + 12) = (k - 5)! \cdot (k - 4)(k - 3) = ((k - 5)! \cdot (k - 4)) \cdot (k - 3) = (k - 4)! \cdot (k - 3) = (k - 3)! $$