ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 427

1) Применяя определение факториала $19! = 18! \cdot 19$, сократим дробь на $18!$: $$ \frac{19!}{18!} = \frac{18! \cdot 19}{18!} = 19 $$ 2) Представим $22!$ в виде $20! \cdot 21 \cdot 22$ и сократим дробь на $20!$: $$ \frac{22!}{20!} = \frac{20! \cdot 21 \cdot 22}{20!} = 21 \cdot 22 = 462 $$ 3) Представим $8!$ как $6! \cdot 7 \cdot 8$, сократим на $6!$ и вычислим оставшиеся множители: $$ \frac{6! \cdot 4!}{8!} = \frac{6! \cdot 4!}{6! \cdot 7 \cdot 8} = \frac{4!}{7 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{56} = \frac{24}{56} = \frac{3}{7} $$ 4) Запишем $10!$ через $8!$, то есть $10! = 8! \cdot 9 \cdot 10$, а также вычислим $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$: $$ \frac{10!}{8! \cdot 3!} = \frac{8! \cdot 9 \cdot 10}{8! \cdot 6} = \frac{90}{6} = 15 $$ 5) По формуле числа перестановок $P_n = n!$, поэтому $P_{n+2} = (n+2)!$. Представим $(n+2)!$ через $n!$: $$ \frac{P_{n+2}}{P_n} = \frac{(n+2)!}{n!} = \frac{n! \cdot (n+1)(n+2)}{n!} = (n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2 $$ 6) По формуле числа перестановок $P_{n+1} = (n+1)!$ и $P_{n+3} = (n+3)!$. Выразим $(n+3)!$ через $(n+1)!$: $$ \frac{P_{n+1}}{P_{n+3}} = \frac{(n+1)!}{(n+3)!} = \frac{(n+1)!}{(n+1)! \cdot (n+2)(n+3)} = \frac{1}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{n^2 + 5n + 6} $$ 7) Заметим, что произведение $m! \cdot (m+1)$ равно $(m+1)!$, а знаменатель $(m+2)! = (m+1)! \cdot (m+2)$: $$ \frac{m! \cdot (m+1)}{(m+2)!} = \frac{(m+1)!}{(m+1)! \cdot (m+2)} = \frac{1}{m+2} $$ 8) Заметим, что $(k+4)! \cdot (k+5) = (k+5)!$, а знаменатель $(k+6)! = (k+5)! \cdot (k+6)$: $$ \frac{(k+4)! \cdot (k+5)}{(k+6)!} = \frac{(k+5)!}{(k+5)! \cdot (k+6)} = \frac{1}{k+6} $$ Ответ: 1) $19$; 2) $462$; 3) $\frac{3}{7}$; 4) $15$; 5) $(n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2$; 6) $\frac{1}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{n^2 + 5n + 6}$; 7) $\frac{1}{m+2}$; 8) $\frac{1}{k+6}$.