ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 396

### 1) Линии: $y = x^2 - 6x + 9$, $y = x^2 + 4x + 4$, $y = 0$ Запишем уравнения парабол в виде полных квадратов: $$ y = (x - 3)^2, \quad y = (x + 2)^2 $$ Графики функций касаются оси $Ox$ ($y = 0$) в точках их вершин: - парабола $y = (x + 2)^2$ в точке $x = -2$; - парабола $y = (x - 3)^2$ в точке $x = 3$. Найдем абсциссу точки пересечения графиков парабол: $$ (x + 2)^2 = (x - 3)^2 $$ $$ x^2 + 4x + 4 = x^2 - 6x + 9 $$ $$ 10x = 5 \implies x = 0{,}5 $$ Фигура ограничена снизу осью $Ox$, а сверху: - на отрезке $[-2; 0{,}5]$ графиком функции $y = (x + 2)^2$; - на отрезке $[0{,}5; 3]$ графиком функции $y = (x - 3)^2$. Вычислим площадь фигуры как сумму двух определенных интегралов: $$ S = \int_{-2}^{0{,}5} (x + 2)^2 \, dx + \int_{0{,}5}^{3} (x - 3)^2 \, dx $$ Вычислим слагаемые: $$ \int_{-2}^{0{,}5} (x + 2)^2 \, dx = \left. \frac{(x + 2)^3}{3} \right|_{-2}^{0{,}5} = \frac{(0{,}5 + 2)^3}{3} - 0 = \frac{2{,}5^3}{3} = \frac{15{,}625}{3} = \frac{125}{24} $$ $$ \int_{0{,}5}^{3} (x - 3)^2 \, dx = \left. \frac{(x - 3)^3}{3} \right|_{0{,}5}^{3} = 0 - \frac{(0{,}5 - 3)^3}{3} = -\frac{(-2{,}5)^3}{3} = \frac{15{,}625}{3} = \frac{125}{24} $$ $$ S = \frac{125}{24} + \frac{125}{24} = \frac{250}{24} = \frac{125}{12} = 10\frac{5}{12} $$ Ответ: $10\frac{5}{12}$. --- ### 2) Линии: $y = x^2 + 1$, $y = 3 - x^2$ Найдем точки пересечения парабол: $$ x^2 + 1 = 3 - x^2 $$ $$ 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1 $$ На отрезке $[-1; 1]$ график функции $y = 3 - x^2$ лежит выше графика $y = x^2 + 1$ (например, при $x = 0$: $3 > 1$). Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{-1}^{1} ((3 - x^2) - (x^2 + 1)) \, dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) \, dx $$ Поскольку подынтегральная функция четная: $$ S = 2 \int_{0}^{1} (2 - 2x^2) \, dx = 2 \left. \left( 2x - \frac{2x^3}{3} \right) \right|_{0}^{1} = 2 \left( 2 - \frac{2}{3} \right) = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $$ Ответ: $2\frac{2}{3}$. --- ### 3) Линии: $y = x^2$, $y = 2\sqrt{2x}$ Область определения функции $y = 2\sqrt{2x}$ задается условием $x \ge 0$. Найдем абсциссы точек пересечения графиков: $$ x^2 = 2\sqrt{2x} $$ Возведем обе части уравнения в квадрат при $x \ge 0$: $$ x^4 = 8x $$ $$ x(x^3 - 8) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 2 $$ На отрезке $[0; 2]$ график $y = 2\sqrt{2x}$ лежит выше графика $y = x^2$ (при $x = 1$: $2\sqrt{2} > 1$). Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{2} (2\sqrt{2x} - x^2) \, dx = \int_{0}^{2} \left( 2\sqrt{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^2 \right) \, dx $$ $$ S = \left. \left( 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2} = \left. \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} x\sqrt{x} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ S = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = \frac{16}{3} - \frac{8}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $$ Ответ: $2\frac{2}{3}$. --- ### 4) Линии: $y = \sqrt{x}$, $y = \sqrt{4 - 3x}$, $y = 0$ Найдем области определения функций и точки пересечения графиков с осью $Ox$ ($y = 0$): - для $y = \sqrt{x}$: $x \ge 0$, при $y = 0$ получаем $x = 0$; - для $y = \sqrt{4 - 3x}$: $4 - 3x \ge 0 \implies x \le \frac{4}{3}$, при $y = 0$ получаем $x = \frac{4}{3}$. Найдем точку пересечения графиков функций: $$ \sqrt{x} = \sqrt{4 - 3x} $$ $$ x = 4 - 3x $$ $$ 4x = 4 \implies x = 1 $$ Фигура лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$) на отрезке $\left[0; \frac{4}{3}\right]$ и ограничена сверху: - на отрезке $[0; 1]$ линией $y = \sqrt{x}$; - на отрезке $\left[1; \frac{4}{3}\right]$ линией $y = \sqrt{4 - 3x}$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx + \int_{1}^{\frac{4}{3}} \sqrt{4 - 3x} \, dx $$ Вычислим каждый интеграл отдельно: $$ \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left. \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right|_{0}^{1} = \frac{2}{3} $$ $$ \int_{1}^{\frac{4}{3}} (4 - 3x)^{\frac{1}{2}} \, dx = \left. \left( -\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} (4 - 3x)^{\frac{3}{2}} \right) \right|_{1}^{\frac{4}{3}} = \left. -\frac{2}{9} (4 - 3x)^{\frac{3}{2}} \right|_{1}^{\frac{4}{3}} $$ $$ -\frac{2}{9} \left( \left( 4 - 3 \cdot \frac{4}{3} \right)^{\frac{3}{2}} - (4 - 3 \cdot 1)^{\frac{3}{2}} \right) = -\frac{2}{9} (0 - 1) = \frac{2}{9} $$ Сложим полученные площади: $$ S = \frac{2}{3} + \frac{2}{9} = \frac{6}{9} + \frac{2}{9} = \frac{8}{9} $$ Ответ: $\frac{8}{9}$.