ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 381

**1)** Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 6x - x^2$ и прямой $y = x + 4$. 1. Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций, решив уравнение: $$ 6x - x^2 = x + 4 $$ $$ -x^2 + 5x - 4 = 0 $$ $$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$. 2. На отрезке $[1; 4]$ парабола расположена выше прямой (например, при $x = 2$: $y_{\text{пар}} = 6 \cdot 2 - 2^2 = 8$, а $y_{\text{пр}} = 2 + 4 = 6$, $8 > 6$). 3. Вычислим площадь $S$ фигуры с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{1}^{4} ((6x - x^2) - (x + 4))\,dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4)\,dx $$ $$ S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right) \right|_{1}^{4} $$ Подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона — Лейбница: $$ S = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right) $$ $$ S = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) $$ $$ S = \left( 24 - \frac{64}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} \right) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{11}{6} \right) = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = 4{,}5 $$ **Ответ к пункту 1:** $4{,}5$. --- **2)** Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4 - x^2$ и прямой $y = x + 2$. 1. Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций, приравняв их правые части: $$ 4 - x^2 = x + 2 $$ $$ x^2 + x - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. 2. На отрезке $[-2; 1]$ парабола расположена выше прямой (например, при $x = 0$: $y_{\text{пар}} = 4 - 0^2 = 4$, а $y_{\text{пр}} = 0 + 2 = 2$, $4 > 2$). 3. Вычислим площадь $S$ фигуры: $$ S = \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2))\,dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2)\,dx $$ $$ S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-2}^{1} $$ Подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона — Лейбница: $$ S = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) \right) $$ $$ S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) $$ $$ S = \left( 2 - \frac{5}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = 4{,}5 $$ **Ответ к пункту 2:** $4{,}5$.