ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 383

### 1) 1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки $(1; 0)$ и $(0; -3)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Подставим координаты точек: $$ \begin{cases} 0 = k \cdot 1 + b \\ -3 = k \cdot 0 + b \end{cases} $$ Отсюда $b = -3$, тогда $k - 3 = 0 \implies k = 3$. Уравнение прямой: $y = 3x - 3$. 2. Найдем абсциссы точек пересечения параболы $y = -x^2 + 4x - 3$ и прямой $y = 3x - 3$: $$ -x^2 + 4x - 3 = 3x - 3 $$ $$ -x^2 + x = 0 $$ $$ -x(x - 1) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 1 $$ 3. На отрезке $[0; 1]$ график параболы расположен выше прямой (например, при $x = 0{,}5$: $y_{\text{пар}} = -0{,}25 + 2 - 3 = -1{,}25$, а $y_{\text{пр}} = 1{,}5 - 3 = -1{,}5$). Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{1} \left((-x^2 + 4x - 3) - (3x - 3)\right) \, dx = \int_{0}^{1} (-x^2 + x) \, dx $$ $$ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) - 0 = \frac{1}{6} $$ **Ответ:** $\frac{1}{6}$. --- ### 2) 1. Найдем абсциссы точек пересечения параболы $y = -x^2$ и прямой $y = -2$: $$ -x^2 = -2 \implies x^2 = 2 \implies x_1 = -\sqrt{2}, \quad x_2 = \sqrt{2} $$ 2. На отрезке $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$ парабола лежит выше прямой $y = -2$. Поскольку подынтегральная функция четная, воспользуемся свойством симметрии: $$ S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^2 - (-2)) \, dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2 - x^2) \, dx = 2 \int_{0}^{\sqrt{2}} (2 - x^2) \, dx $$ $$ S = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{2}} = 2 \left(2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = 2 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3} $$ **Ответ:** $\frac{8\sqrt{2}}{3}$. --- ### 3) 1. Найдем абсциссы точек пересечения парабол $y = 1 - x^2$ и $y = x^2 - 1$: $$ 1 - x^2 = x^2 - 1 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1 $$ 2. На отрезке $[-1; 1]$ парабола $y = 1 - x^2$ расположена выше параболы $y = x^2 - 1$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{-1}^{1} \left((1 - x^2) - (x^2 - 1)\right) \, dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) \, dx $$ Используя четность подынтегральной функции: $$ S = 2 \int_{0}^{1} (2 - 2x^2) \, dx = 4 \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = 4 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 4 \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $$ **Ответ:** $2\frac{2}{3}$. --- ### 4) 1. Найдем точку пересечения графика функции $y = x^3$ и прямой $y = 1$: $$ x^3 = 1 \implies x = 1 $$ 2. Фигура ограничена слева прямой $x = -2$, справа — точкой пересечения $x = 1$. На отрезке $[-2; 1]$ прямая $y = 1$ находится выше графика $y = x^3$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{-2}^{1} (1 - x^3) \, dx = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{1} $$ $$ S = \left(1 - \frac{1}{4}\right) - \left(-2 - \frac{(-2)^4}{4}\right) = \frac{3}{4} - (-2 - 4) = \frac{3}{4} - (-6) = 6\frac{3}{4} = 6{,}75 $$ **Ответ:** $6\frac{3}{4}$ (или $6{,}75$). --- ### 5) 1. Рассмотрим отрезок $[-1; 0]$. Найдем взаимное расположение графиков функций $y = x^3$ и $y = x$. При $x \in (-1; 0)$ выполняется неравенство $x^3 > x$ (например, при $x = -0{,}5$: $(-0{,}5)^3 = -0{,}125 > -0{,}5$). Следовательно, график $y = x^3$ лежит выше прямой $y = x$. 2. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} $$ $$ S = 0 - \left(\frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^2}{2}\right) = -\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = -\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$ **Ответ:** $\frac{1}{4}$ (или $0{,}25$). --- ### 6) 1. Найдем абсциссы точек пересечения парабол $y = x^2 - 2x$ и $y = -x^2$: $$ x^2 - 2x = -x^2 $$ $$ 2x^2 - 2x = 0 \implies 2x(x - 1) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 1 $$ 2. На отрезке $[0; 1]$ парабола $y = -x^2$ лежит выше параболы $y = x^2 - 2x$ (например, при $x = 0{,}5$: $-0{,}25 > 0{,}25 - 1 = -0{,}75$). Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{1} \left(-x^2 - (x^2 - 2x)\right) \, dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) \, dx $$ $$ S = \left[ x^2 - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left(1 - \frac{2}{3}\right) - 0 = \frac{1}{3} $$ **Ответ:** $\frac{1}{3}$.