ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 378

### 1) 1. Найдём уравнение прямой, проходящей через точки $(0; 0)$ и $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx$: $$ 1 = k \cdot \frac{\pi}{2} \implies k = \frac{2}{\pi} $$ Таким образом, прямая задаётся уравнением $y = \frac{2}{\pi}x$. 2. Найдём точки пересечения границ фигуры: * Прямая $y = \frac{2}{\pi}x$ пересекает ось $Ox$ в точке $(0; 0)$. * Прямая $y = \frac{2}{\pi}x$ и график $y = \sin x$ пересекаются в точке $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$, так как $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ и $\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1$. * График $y = \sin x$ пересекает ось $Ox$ на отрезке $[0; \pi]$ в точке $(\pi; 0)$. 3. Фигура ограничена снизу отрезком $[0; \pi]$ оси $Ox$, сверху слева — отрезком прямой $y = \frac{2}{\pi}x$ при $x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, а сверху справа — графиком $y = \sin x$ при $x \in \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$. Её площадь равна сумме площадей двух частей: $$ S = S_1 + S_2 $$ Первая часть — прямоугольный треугольник с катетами $\frac{\pi}{2}$ и $1$: $$ S_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{2}{\pi}x \, dx = \left. \frac{x^2}{\pi} \right|_0^{\pi/2} = \frac{(\pi/2)^2}{\pi} = \frac{\pi}{4} $$ Вторая часть: $$ S_2 = \int_{\pi/2}^{\pi} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_{\pi/2}^{\pi} = -\cos\pi - \left(-\cos\frac{\pi}{2}\right) = -(-1) - 0 = 1 $$ Складываем площади: $$ S = \frac{\pi}{4} + 1 = 1 + \frac{\pi}{4} $$ *(Примечание: если рассматривать фигуру, заключённую между графиком $y = \sin x$ и прямой $y = \frac{2}{\pi}x$ на интервале $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, то её площадь равна $\int_0^{\pi/2} \left(\sin x - \frac{2}{\pi}x\right) dx = 1 - \frac{\pi}{4}$)*. **Ответ:** $1 + \frac{\pi}{4}$ (или $1 - \frac{\pi}{4}$). --- ### 2) 1. Найдём точку пересечения графиков функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$: $$ \sin x = \cos x \implies \operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} $$ 2. График $y = \sin x$ выходит из начала координат $(0; 0)$ и на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$ образует левую верхнюю границу фигуры. График $y = \cos x$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$ образует правую верхнюю границу фигуры и пересекает ось $Ox$ в точке $\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$. Снизу фигура ограничена отрезком $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ оси $Ox$. 3. Площадь фигуры равна сумме двух интегралов: $$ S = \int_0^{\pi/4} \sin x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx $$ Вычислим каждый интеграл: $$ \int_0^{\pi/4} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_0^{\pi/4} = -\cos\frac{\pi}{4} - (-\cos 0) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx = \left. \sin x \right|_{\pi/4}^{\pi/2} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Складываем полученные площади: $$ S = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 - \sqrt{2} $$ **Ответ:** $2 - \sqrt{2}$. --- ### 3) 1. Найдём точки пересечения линий с осью $Ox$ ($y = 0$): * $\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$; * $(x - 2)^2 = 0 \implies x = 2$. 2. Найдём абсциссу точки пересечения графиков $y = \sqrt{x}$ и $y = (x - 2)^2$: $$ \sqrt{x} = (x - 2)^2 $$ При $x = 1$: $\sqrt{1} = 1$ и $(1 - 2)^2 = 1$ — равенство верно. Так как при $x \in [0; 2]$ функция $y = \sqrt{x}$ возрастает, а $y = (x - 2)^2$ убывает, корень $x = 1$ на данном отрезке единственный. 3. Фигура ограничена снизу осью $Ox$ на отрезке $[0; 2]$, сверху — графиком $y = \sqrt{x}$ при $x \in [0; 1]$ и графиком $y = (x - 2)^2$ при $x \in [1; 2]$. 4. Вычислим площадь как сумму площадей двух криволинейных трапеций: $$ S = \int_0^1 \sqrt{x} \, dx + \int_1^2 (x - 2)^2 \, dx $$ $$ \int_0^1 \sqrt{x} \, dx = \left. \frac{2}{3}x^{3/2} \right|_0^1 = \frac{2}{3} \cdot 1 - 0 = \frac{2}{3} $$ $$ \int_1^2 (x - 2)^2 \, dx = \left. \frac{(x - 2)^3}{3} \right|_1^2 = \frac{(2 - 2)^3}{3} - \frac{(1 - 2)^3}{3} = 0 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} $$ $$ S = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 $$ **Ответ:** $1$. --- ### 4) 1. Найдём точки пересечения линий с осью $Ox$ ($y = 0$): * $x^3 = 0 \implies x = 0$; * $2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0 \implies x = 0$ или $x = 2$. 2. Найдём точки пересечения графиков $y = x^3$ и $y = 2x - x^2$: $$ x^3 = 2x - x^2 \iff x^3 + x^2 - 2x = 0 \iff x(x^2 + x - 2) = 0 \iff x(x - 1)(x + 2) = 0 $$ В первой четверти графики пересекаются в точках с абсциссами $x = 0$ и $x = 1$. 3. Фигура ограничена снизу осью $Ox$ на отрезке $[0; 2]$, сверху — кубической параболой $y = x^3$ на отрезке $[0; 1]$ и параболой $y = 2x - x^2$ на отрезке $[1; 2]$. 4. Найдём площадь фигуры: $$ S = \int_0^1 x^3 \, dx + \int_1^2 (2x - x^2) \, dx $$ Вычислим интегралы: $$ \int_0^1 x^3 \, dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_0^1 = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4} $$ $$ \int_1^2 (2x - x^2) \, dx = \left. \left(x^2 - \frac{x^3}{3}\right) \right|_1^2 = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(1^2 - \frac{1^3}{3}\right) = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $$ Складываем результаты: $$ S = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3 + 8}{12} = \frac{11}{12} $$ *(Примечание: если рассматривать область между графиками функций $y = 2x - x^2$ и $y = x^3$ на отрезке $[0; 1]$, то её площадь равна $\int_0^1 (2x - x^2 - x^3) dx = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$)*. **Ответ:** $\frac{11}{12}$ (или $\frac{5}{12}$).