ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 382

### 1) Найдем абсциссы точек пересечения параболы $y = (x + 2)^2$ и прямой $y = x + 2$: $$ (x + 2)^2 = x + 2 $$ $$ (x + 2)^2 - (x + 2) = 0 $$ $$ (x + 2)(x + 2 - 1) = 0 $$ $$ (x + 2)(x + 1) = 0 $$ Отсюда $x_1 = -2$, $x_2 = -1$. На отрезке $[-2; -1]$ график прямой лежит выше графика параболы: $x + 2 \geq (x + 2)^2$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{-2}^{-1} \left( (x + 2) - (x + 2)^2 \right) dx $$ Сделаем замену переменной $t = x + 2$, тогда $dt = dx$. При $x = -2$ получаем $t = 0$, при $x = -1$ получаем $t = 1$: $$ S = \int_{0}^{1} (t - t^2) dt = \left. \left( \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} \right) \right|_0^1 = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{1}{6} $$ **Ответ:** $\frac{1}{6}$ --- ### 2) Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x^2$ при $x \geq 0$: $$ \sqrt{x} = x^2 $$ $$ x = x^4 $$ $$ x(x^3 - 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 1 $$ На отрезке $[0; 1]$ выполняется неравенство $\sqrt{x} \geq x^2$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) dx = \left. \left( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_0^1 = \left( \frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{1}{3} $$ **Ответ:** $\frac{1}{3}$ --- ### 3) Найдем абсциссы точек пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ и прямой $y = x$ при $x \geq 0$: $$ \sqrt{x} = x $$ $$ x = x^2 $$ $$ x(x - 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 1 $$ На отрезке $[0; 1]$ график функции $y = \sqrt{x}$ лежит выше прямой $y = x$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx = \left. \left( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2} \right) \right|_0^1 = \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right) - 0 = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6} $$ **Ответ:** $\frac{1}{6}$ --- ### 4) Найдем абсциссы точек пересечения параболы $y = (x - 1)^2$ и прямой $y = 5 + x$: $$ (x - 1)^2 = 5 + x $$ $$ x^2 - 2x + 1 = 5 + x $$ $$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = -1, \quad x_2 = 4 $$ На отрезке $[-1; 4]$ прямая расположена выше параболы: $5 + x \geq (x - 1)^2$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{-1}^{4} \left( (5 + x) - (x - 1)^2 \right) dx = \int_{-1}^{4} (5 + x - x^2 + 2x - 1) dx = \int_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) dx $$ $$ S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right) \right|_{-1}^{4} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ \left( -\frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 16}{2} + 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 4 \cdot (-1) \right) $$ $$ = \left( -\frac{64}{3} + 24 + 16 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right) = \left( 40 - \frac{64}{3} \right) - \left( \frac{11}{6} - 4 \right) $$ $$ = \frac{56}{3} - \left( -\frac{13}{6} \right) = \frac{112}{6} + \frac{13}{6} = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6} $$ **Ответ:** $20\frac{5}{6}$ --- ### 5) Ось $Oy$ задается уравнением $x = 0$. Найдем абсциссу точки пересечения прямой $y = 1$ и графика функции $y = \sin x$ на промежутке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$: $$ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} $$ Таким образом, фигура ограничена слева прямой $x = 0$, справа точкой с абсциссой $x = \frac{\pi}{2}$, сверху прямой $y = 1$, а снизу синусоидой $y = \sin x$. На отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ имеем $1 \geq \sin x$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin x) dx = \left. (x + \cos x) \right|_0^{\frac{\pi}{2}} $$ $$ S = \left( \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} \right) - (0 + \cos 0) = \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1 $$ **Ответ:** $\frac{\pi}{2} - 1$