ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 371

**1)** Вычислим определенный интеграл: $$ \int_{-2}^{1} x(x+3)(2x-1)\,dx $$ Раскроем скобки в подынтегральном выражении: $$ x(x+3)(2x-1) = (x^2 + 3x)(2x - 1) = 2x^3 - x^2 + 6x^2 - 3x = 2x^3 + 5x^2 - 3x $$ Найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница: $$ \int_{-2}^{1} (2x^3 + 5x^2 - 3x)\,dx = \left.\left(\frac{2x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\right)\right|_{-2}^{1} = \left.\left(\frac{x^4}{2} + \frac{5x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\right)\right|_{-2}^{1} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ F(1) = \frac{1^4}{2} + \frac{5 \cdot 1^3}{3} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{3} - \frac{3}{2} = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3} $$ $$ F(-2) = \frac{(-2)^4}{2} + \frac{5 \cdot (-2)^3}{3} - \frac{3 \cdot (-2)^2}{2} = \frac{16}{2} - \frac{40}{3} - \frac{12}{2} = 8 - \frac{40}{3} - 6 = 2 - \frac{40}{3} = -\frac{34}{3} $$ $$ F(1) - F(-2) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{34}{3}\right) = \frac{2 + 34}{3} = \frac{36}{3} = 12 $$ Ответ: $12$. --- **2)** Вычислим определенный интеграл: $$ \int_{1}^{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\,dx $$ Преобразуем подынтегральную функцию, применив формулу квадрата суммы: $$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + x^{-2} $$ Найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница: $$ \int_{1}^{2} (x^2 + 2 + x^{-2})\,dx = \left.\left(\frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x}\right)\right|_{1}^{2} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ F(2) = \frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2 - \frac{1}{2} = \frac{8}{3} + 4 - \frac{1}{2} = \frac{8}{3} + \frac{7}{2} = \frac{16 + 21}{6} = \frac{37}{6} $$ $$ F(1) = \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1 - \frac{1}{1} = \frac{1}{3} + 2 - 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} = \frac{8}{6} $$ $$ F(2) - F(1) = \frac{37}{6} - \frac{8}{6} = \frac{29}{6} = 4\frac{5}{6} $$ Ответ: $4\frac{5}{6}$. --- **3)** Вычислим определенный интеграл: $$ \int_{-1}^{0}(x+1)(x^2-2)\,dx $$ Раскроем скобки в подынтегральном выражении: $$ (x+1)(x^2-2) = x^3 - 2x + x^2 - 2 = x^3 + x^2 - 2x - 2 $$ Найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница: $$ \int_{-1}^{0} (x^3 + x^2 - 2x - 2)\,dx = \left.\left(\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 - 2x\right)\right|_{-1}^{0} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ F(0) = 0 $$ $$ F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} + \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 - 2(-1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 1 + 2 = -\frac{1}{12} + 1 = \frac{11}{12} $$ $$ F(0) - F(-1) = 0 - \frac{11}{12} = -\frac{11}{12} $$ Ответ: $-\frac{11}{12}$. --- **4)** Вычислим определенный интеграл: $$ \int_{-2}^{-1}\frac{4}{x^2}\left(1-\frac{2}{x}\right)dx $$ Раскроем скобки в подынтегральном выражении: $$ \frac{4}{x^2}\left(1-\frac{2}{x}\right) = \frac{4}{x^2} - \frac{8}{x^3} = 4x^{-2} - 8x^{-3} $$ Найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница: $$ \int_{-2}^{-1} (4x^{-2} - 8x^{-3})\,dx = \left.\left(-\frac{4}{x} + \frac{4}{x^2}\right)\right|_{-2}^{-1} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ F(-1) = -\frac{4}{-1} + \frac{4}{(-1)^2} = 4 + 4 = 8 $$ $$ F(-2) = -\frac{4}{-2} + \frac{4}{(-2)^2} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3 $$ $$ F(-1) - F(-2) = 8 - 3 = 5 $$ Ответ: $5$.